#Introduction à l'algèbre linéaireCopier le lien

Licence Informatique, Semestre 1 Université Côte d'Azur, Campus Valrose

#Plan du coursCopier le lien

1. Espaces vectoriels
2. Applications linéaires
3. Matrices
4. Systèmes linéaires

#1. Espaces vectorielsCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Un -espace vectoriel est un ensemble muni de :

• une addition
• une multiplication par scalaire

satisfaisant 8 axiomes ( associativité, commutativité, neutres, opposés, distributivités )

#ExemplesCopier le lien

• ,
• ( polynômes )
• ( fonctions )
• ( matrices )

#Sous-espaces vectorielsCopier le lien

#CaractérisationCopier le lien

est un sous-espace si :

• ( en pratique : )

#Combinaisons linéairesCopier le lien

C'est le plus petit sous-espace contenant

#Famille libre et génératriceCopier le lien

#Libre ( linéairement indépendante )Copier le lien

#GénératriceCopier le lien

engendre si

#Base et dimensionCopier le lien

#BaseCopier le lien

Une famille à la fois libre et génératrice

Dans une base, tout vecteur s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire

#DimensionCopier le lien

Nombre d'éléments d'une base =

Théorème : toutes les bases ont le même cardinal

#Exemples de dimensionsCopier le lien

#Formule de GrassmannCopier le lien

Somme directe :

#2. Applications linéairesCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

est linéaire si :

pour tous et

Conséquence : déterminée par l'image d'une base

#Noyau et imageCopier le lien

injective

#Théorème du rangCopier le lien

Pour linéaire avec :

#Endomorphismes en dimension finieCopier le lien

Injective Surjective Bijective

( faux en dimension infinie : la dérivation sur )

Deux espaces de même dimension finie sont isomorphes

#3. MatricesCopier le lien

#ReprésentationCopier le lien

Une application linéaire est représentée par une matrice :

Les colonnes de sont les images des vecteurs de la base

#Opérations matriciellesCopier le lien

#AdditionCopier le lien

#Multiplication ( ligne × colonne )Copier le lien

Attention : en général !

#TranspositionCopier le lien

, et

#Changement de baseCopier le lien

#Matrice de passageCopier le lien

: colonnes = vecteurs de la nouvelle base dans l'ancienne

#Coordonnées d'un vecteurCopier le lien

#Matrice d'un endomorphismeCopier le lien

et sont semblables : même trace, même déterminant, même rang

#4. Systèmes linéairesCopier le lien

#Forme matricielleCopier le lien

où , ,

#Structure des solutionsCopier le lien

Solution générale = solution particulière + solution homogène

#Méthode de GaussCopier le lien

Opérations élémentaires sur les lignes :

1. Échanger deux lignes
2. Multiplier une ligne par un scalaire non nul
3. Ajouter un multiple d'une ligne à une autre

Descente ( élimination sous les pivots ) puis remontée ( de bas en haut )

#Classification des systèmesCopier le lien

#Système de CramerCopier le lien

et solution unique

#Cas général ( théorème de Rouché-Fontené )Copier le lien

• : aucune solution
• : infinité de solutions ( dimension )
• : solution unique

Complexité du pivot :

#RésuméCopier le lien

• Les espaces vectoriels généralisent
• Les bases donnent des coordonnées uniques ; la dimension les compte
• Les applications linéaires préservent la structure ; noyau et image les décrivent
• Les matrices représentent les applications linéaires ; le produit = composition
• Les systèmes linéaires se résolvent par élimination de Gauss

L'algèbre linéaire est partout !

#RessourcesCopier le lien

• Cours complet avec démonstrations
• Exercices corrigés avec éléments de vérification
• Animations pas à pas ( pivot de Gauss, théorème du rang )
• Forum d'entraide

Bon courage !