#Introduction à l'analyseCopier le lien

Licence Informatique, Semestre 1 Support de révision : définitions, théorèmes et méthodes à connaître

#Plan du coursCopier le lien

1. Suites numériques
2. Limites et continuité
3. Dérivées
4. Applications

#1. Suites numériquesCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Une suite réelle est une application

On note ou simplement

#Convergence (Weierstrass)Copier le lien

L'ordre des quantificateurs compte : dépend de

#Théorèmes sur les suitesCopier le lien

#Unicité de la limiteCopier le lien

Si une suite converge, sa limite est unique

#Théorème des gendarmesCopier le lien

Si et , alors

#Convergence monotoneCopier le lien

Toute suite croissante et majorée converge ( vers sa borne supérieure )

#Suites adjacentesCopier le lien

L'une croissante, l'autre décroissante, : elles convergent vers la même limite

#2. Limites de fonctionsCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

#Propriétés opératoiresCopier le lien

• si

#Formes indéterminéesCopier le lien

, , , : factoriser par le terme dominant, utiliser la quantité conjuguée ou les croissances comparées

#3. ContinuitéCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

est continue en ssi

#Théorème des valeurs intermédiairesCopier le lien

Si est continue sur et est compris entre et , alors

Corollaire : si , alors

Méthode : la dichotomie localise à près après étapes

#4. DérivéesCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Interprétation : pente de la tangente au graphe en , vitesse instantanée en physique

#Règles de dérivationCopier le lien

• ( Leibniz )
• ( chaîne )

#Théorème de RolleCopier le lien

Si est continue sur , dérivable sur et ,
alors

#Théorème des accroissements finisCopier le lien

Mêmes hypothèses ( sans ) :

Application : si alors

#ApplicationsCopier le lien

#Étude de variationsCopier le lien

• sur un intervalle : strictement croissante
• : strictement décroissante

#Extrema locauxCopier le lien

Si et : minimum local
Si et : maximum local

Sur un segment fermé, comparer aussi les valeurs aux bornes

#Exemple typeCopier le lien

: , maximum local en , minimum local en

#RésuméCopier le lien

• Les suites : première rencontre avec la limite, définition -
• Les limites de fonctions : définition -, formes indéterminées
• La continuité : pas de saut ; le TVI garantit l'existence de solutions
• La dérivée : taux de variation instantané ; Rolle et le TAF relient local et global

Clé du succès : maîtriser les définitions quantifiées et savoir lever une forme indéterminée

#RessourcesCopier le lien

• Cours complet et démonstrations dans les chapitres du module
• Exercices corrigés dans la section Ressources
• Animations interactives pas à pas
• Exo7 pour des exercices supplémentaires

Bon travail !