#Logique et ArithmétiqueCopier le lien

Ce module pose les fondations du raisonnement mathématique rigoureux. La logique formalise le langage des mathématiques et garantit la validité des preuves ; l'arithmétique explore la structure des entiers, dont les propriétés alimentent la cryptographie moderne. La rigueur acquise ici irrigue tous les modules suivants, en mathématiques comme en informatique.

#PrérequisCopier le lien

Ce module est une porte d'entrée : il exige seulement les manipulations algébriques du lycée (calcul fractionnaire, puissances, identités remarquables) et le goût du raisonnement exact. Aucune notion de calcul différentiel ou d'algèbre linéaire n'est supposée.

#Objectifs pédagogiquesCopier le lien

À l'issue de ce module, vous saurez :

• construire et lire des tables de vérité, nier proprement une proposition quantifiée ;
• choisir le bon type de raisonnement (direct, contraposée, absurde, récurrence) selon l'énoncé ;
• manipuler ensembles, applications et relations d'équivalence et d'ordre ;
• diviser euclidiennement, calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide et des coefficients de Bézout ;
• résoudre des congruences et exploiter les théorèmes de Fermat, d'Euler et des restes chinois.

#ProgrammeCopier le lien

1. Bases de la logique

   • Propositions, connecteurs, tables de vérité.
   • Quantificateurs et négations.
   • Méthodes de preuve : direct, contraposée, absurde, récurrence.
   • Lien avec les circuits logiques.

2. Arithmétique dans

   • Divisibilité et division euclidienne.
   • PGCD, PPCM et algorithme d'Euclide ; théorèmes de Bézout et de Gauss.
   • Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers.

3. Compléments : ensembles, relations et congruences

   • Ensembles et applications.
   • Relations d'équivalence et d'ordre.
   • Arithmétique modulaire, inverses, petit théorème de Fermat, théorème des restes chinois.

#Comment ce module s'articuleCopier le lien

La logique vient d'abord car elle est l'outil de tout le reste : la récurrence sert à démontrer les identités arithmétiques, le raisonnement par l'absurde démontre l'infinité des nombres premiers et l'irrationalité de , et la négation d'énoncés quantifiés structure les définitions de limite. L'arithmétique construit ensuite, à partir de la seule division euclidienne, tout un édifice : PGCD, Bézout, primalité, congruences, jusqu'au chiffrement RSA qui protège les communications quotidiennes.

#Exemple type d'examenCopier le lien

Énoncé. Montrer que pour tout entier , la fraction est un entier, puis que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair.

Corrigé. Par récurrence forte sur la proposition : « est un entier », ou plus simplement par disjonction de cas :

• si est pair, et , entier ;
• si est impair, est pair et , entier.

Vérification. ; . Cette quantité n'est autre que , somme de entiers : l'argument et la formule se confirment mutuellement.

#Exercice de démarrageCopier le lien

Pour chacun des énoncés suivants, dire s'il est vrai ou faux et le justifier en une ligne :

1. Pour tout , est pair.
2. Il existe un entier tel que .
3. Si est multiple de 6, alors est multiple de 3.

Correction.

1. Vrai : , produit d'entiers consécutifs, toujours pair (exercice type ci-dessus).
2. Faux : et les carrés parfaits encadrant 2 sont 1 et 4 ; plus généralement la négation « pour tout , » se démontre par croissance de sur .
3. Vrai : . La réciproque est fausse : 9 est multiple de 3 sans l'être de 6 ; distinguer condition nécessaire et suffisante est précisément le travail de la logique.