#Espaces vectorielsCopier le lien

La notion d'espace vectoriel est l'une des abstractions les plus fécondes des mathématiques. En généralisant les propriétés de l'espace géométrique , elle permet de traiter de manière unifiée des objets aussi divers que les polynômes, les fonctions, les suites ou les matrices. Les théorèmes démontrés une fois pour les espaces vectoriels abstraits s'appliquent ensuite gratuitement à tous ces contextes : c'est cette économie de pensée qui fait la puissance du formalisme.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre suppose connus les ensembles de nombres, le vocabulaire des applications ( injectif, surjectif, bijectif ) et le raisonnement par récurrence.

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• vérifier qu'un ensemble muni d'opérations est un espace vectoriel ou un sous-espace vectoriel ;
• déterminer si une famille est libre, génératrice, ou une base, par des calculs explicites ;
• extraire des coordonnées d'un vecteur dans une base donnée ;
• calculer des dimensions avec la formule de Grassmann.

#Définition axiomatiqueCopier le lien

Un espace vectoriel sur un corps ( dans ce cours, ou ) est un ensemble muni de deux opérations : une addition interne et une multiplication externe . Pour tous et , ces opérations doivent satisfaire huit axiomes.

Axiomes de l'addition :

1. Associativité :
2. Commutativité :
3. Élément neutre : il existe tel que
4. Opposé : pour tout , il existe tel que

Axiomes de la multiplication externe :

5. Associativité mixte :
6. Neutre scalaire :
7. Distributivité sur l'addition vectorielle :
8. Distributivité sur l'addition scalaire :

Ces axiomes codifient exactement les règles de calcul familières sur les vecteurs géométriques. On en déduit des propriétés non axiomatisées mais démontrables, par exemple : en effet par l'axiome 8, et en ajoutant l'opposé de aux deux membres, il reste . De même et .

#Exemples fondamentauxCopier le lien

L'espace . Un vecteur est un -uplet de réels, avec les opérations composante par composante :

Pour , on retrouve l'espace de la géométrie. La base canonique est , , .

L'espace des polynômes . L'addition de polynômes et la multiplication par un scalaire s'effectuent coefficient par coefficient. L'espace tout entier est de dimension infinie, mais le sous-ensemble des polynômes de degré au plus est de dimension , de base canonique .

L'espace des fonctions . Toutes les fonctions de dans , avec et . Espace de dimension infinie, qui contient les fonctions continues, dérivables, ou encore les solutions d'une équation différentielle linéaire homogène.

L'espace des matrices . Les matrices à lignes et colonnes, avec l'addition et la multiplication externe coefficient par coefficient, forment un espace de dimension .

Contre-exemple utile. L'ensemble des polynômes de degré exactement ( pour ) n'est pas un sous-espace de : il ne contient pas le polynôme nul, et la somme de deux polynômes de degré est de degré . La stabilité échoue.

#Combinaisons linéaires et sous-espacesCopier le lien

Une combinaison linéaire de est un vecteur de la forme avec . Le sous-espace engendré est :

C'est le plus petit sous-espace vectoriel de contenant tous les , au sens de l'inclusion.

Définition. Une partie de est un sous-espace vectoriel si est lui-même un espace vectoriel pour les opérations induites. Caractérisation pratique : est un sous-espace si et seulement si et, pour tous et tout , . En pratique, on vérifie que ( ce qui prouve la non-vacuité ) puis la stabilité par combinaison linéaire.

Exemple travaillé ( preuve de sous-espace ). Montrons que est un sous-espace de .

1. Le vecteur vérifie , donc .
2. Soient et dans et . Alors et , d'où :

Donc : est un sous-espace. Géométriquement, c'est le plan passant par l'origine de vecteur normal .

Contre-exemple. La sphère unité n'est pas un sous-espace : elle ne contient pas , et sort de la sphère dès que .

#Somme de sous-espaces et sous-espaces supplémentairesCopier le lien

Pour deux sous-espaces et de , la somme est , elle-même un sous-espace de . C'est le plus petit sous-espace contenant et .

La somme est dite directe, notée , lorsque tout vecteur de s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur de et d'un vecteur de . Critère : la somme est directe si et seulement si .

Exemple. Dans , soit le plan d'équation et l'axe des cotes. Alors et car : .

On dit que et sont supplémentaires lorsque . Un même sous-espace possède en général plusieurs supplémentaires distincts.

#Familles libres et génératricesCopier le lien

Famille libre. La famille est libre si :

Une famille qui n'est pas libre est dite liée : il existe des coefficients non tous nuls donnant le vecteur nul. Attention, la famille formée du seul vecteur nul est liée, et toute famille contenant le vecteur nul ou deux fois le même vecteur est liée.

Exemple travaillé ( étude de liberté ). La famille avec , , est-elle libre dans ? On résout :

La troisième équation donne . En reportant dans la première : , soit . En reportant dans la deuxième : , donc , puis . La famille est libre.

Famille génératrice. La famille est génératrice de si , c'est-à-dire si tout vecteur de s'écrit comme combinaison linéaire des .

Exemple travaillé ( recherche de coefficients ). Le vecteur s'écrit-il comme combinaison de , , ? On résout :

Des deux premières équations, et . En reportant dans la troisième : , ce qui est absurde. Le système n'a pas de solution : n'est pas dans , la famille n'est pas génératrice de . On note d'ailleurs que : la famille est liée, donc ne peut pas engendrer l'espace de dimension 3.

#Bases et coordonnéesCopier le lien

Une base de est une famille à la fois libre et génératrice. Son intérêt est double : tout vecteur de s'écrit comme combinaison linéaire des vecteurs de base ( caractère générateur ), et cette écriture est unique ( caractère libre ). Les coefficients de cette écriture sont les coordonnées du vecteur dans la base.

Exemple travaillé ( coordonnées ). Déterminons les coordonnées de dans la base avec et . On résout :

En additionnant puis soustrayant : et , donc et . Vérification : . Les coordonnées de dans sont , alors qu'elles valent dans la base canonique : les coordonnées dépendent de la base.

Théorème ( base incomplète ). Dans un espace de dimension finie, toute famille libre peut être complétée en une base, et de toute famille génératrice on peut extraire une base.

#DimensionCopier le lien

Théorème de la dimension. Toutes les bases d'un même espace vectoriel ont le même nombre d'éléments. Ce nombre est appelé dimension de , noté .

Dimensions à connaître :

• , de base canonique
• , de base canonique
• , de base canonique les matrices avec un 1 en position et des 0 ailleurs

Règles de dimension. Dans un espace de dimension :

• toute famille libre a au plus vecteurs ;
• toute famille génératrice a au moins vecteurs ;
• toute famille libre de vecteurs est une base ;
• toute famille génératrice de vecteurs est une base.

Ces règles découlent du théorème de la base incomplète et font gagner un temps considérable : pour prouver qu'une famille de vecteurs est une base, il suffit de démontrer la liberté ou le caractère générateur, pas les deux.

Théorème de Grassmann. Pour tous sous-espaces et d'un espace de dimension finie :

Démonstration. L'intersection est un sous-espace de dimension finie ; notons et choisissons une base de . Cette famille est libre dans , on peut donc la compléter en une base de :

et de même en une base de :

Les vecteurs sont dans et les dans . Considérons la famille

Étape 1 : est génératrice de . Tout vecteur de s'écrit avec et . En décomposant sur la base de et sur celle de , on obtient comme combinaison linéaire des vecteurs de .

Étape 2 : est libre. Supposons

Alors , donc (puisque ) ; mais par construction, donc . Or s'écrit sur les , qui ne sont pas dans : la seule possibilité est , c'est-à-dire par liberté de . Il reste , et la liberté de la base de donne . La famille est donc libre.

Étape 3 : conclusion. est une base de , d'où

Lemme d'échange (Steinitz). Dans un espace de dimension finie, de toute famille génératrice on peut extraire une base, et toute famille libre peut être complétée en une base. Ces deux énoncés, admis au lycée, sont les outils qui font fonctionner toute la théorie de la dimension :

• Extraction : si engendre et est liée, un des vecteurs est combinaison des autres ; on le retire sans changer l'espace engendré. En répétant, on obtient une famille libre et génératrice.
• Complétion : si est libre et engendre , on ajoute les un par un, en ne gardant que ceux qui accroissent strictement la famille libre. Comme est de dimension finie, le procédé s'arrête.

C'est ce lemme qui justifie le théorème de la dimension (toutes les bases ont le même cardinal) et les règles pratiques : dans un espace de dimension , une famille libre de vecteurs est une base, et une famille génératrice de vecteurs est une base.

Rang d'une famille. Le rang d'une famille est la dimension de l'espace qu'elle engendre :

Les équivalences à retenir : la famille est libre si et seulement si son rang égale son nombre de vecteurs ; elle est génératrice de si et seulement si son rang égale . En pratique, on calcule un rang par échelonnement : c'est le nombre de pivots.

Exemple travaillé ( Grassmann ). Dans , soient et . Alors , . Un vecteur de est à la fois dans le plan et sur la droite dirigée par : c'est avec , donc et . Grassmann donne , donc : et sont supplémentaires.

Corollaire ( somme directe ). . En particulier, deux droites vectorielles distinctes de ne sont jamais supplémentaires : .

#Erreurs courantesCopier le lien

• Vérifier seulement la stabilité par somme. Un ensemble peut être stable par somme sans être stable par multiplication externe : est stable par somme mais . Toujours tester les deux opérations, ou directement .
• Oublier la non-vacuité. L'ensemble vide est stable par toute opération au sens vide, mais n'est pas un sous-espace : exiger .
• Confondre libre et génératrice. est libre mais pas génératrice de ; est génératrice mais liée.
• Croire que le nombre de vecteurs d'une base est arbitraire. Toutes les bases ont le même cardinal : c'est le théorème de la dimension, pas une évidence.
• Appliquer Grassmann à des espaces de dimension infinie. La formule concerne les sous-espaces de dimension finie.
• Croire que le supplémentaire est unique. Dans , toute droite distincte de est un supplémentaire de .

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( sous-espace ? ). Parmi les ensembles suivants, déterminer lesquels sont des sous-espaces vectoriels de :

a)
b)
c)

Vérification : a) non : mais . b) oui : plan vectoriel d'équation , contenant et stable ( même preuve que l'exemple travaillé ). c) non : et sont dans mais leur somme ne l'est pas.

Exercice 2 ( liberté ). Étudier la liberté de la famille dans avec , , .

Vérification : ( en effet ) : la famille est liée.

Exercice 3 ( base et coordonnées ). Montrer que avec et est une base de , puis déterminer les coordonnées de dans cette base.

Vérification : deux vecteurs non colinéaires ( ) forment une famille libre de 2 vecteurs dans un espace de dimension 2 : c'est une base. On résout : et , d'où et . Vérification : .

Exercice 4 ( polynômes ). Montrer que avec , , est une base de .

Vérification : l'espace est de dimension 3 et la famille comporte 3 vecteurs : il suffit de prouver la liberté. Si , l'identification coefficient par coefficient donne ( constante ), ( coefficient de ), ( coefficient de ). En sommant les trois : , et en combinant avec et : , donc . Famille libre de 3 vecteurs en dimension 3 : base.

Exercice 5 ( Grassmann ). Dans , on donne et . Calculer et déterminer si et sont supplémentaires.

Vérification : , est le plan d'équation ( les deux générateurs la vérifient et sont indépendants ), de dimension 2. Le vecteur vérifie , donc et . Grassmann : , donc et .

Les espaces vectoriels fournissent le langage dans lequel s'expriment toutes les notions suivantes : les applications linéaires du chapitre suivant sont précisément les fonctions qui respectent cette structure d'addition et de multiplication externe.