#Applications linéairesCopier le lien

Les applications linéaires sont les morphismes des espaces vectoriels : ce sont les fonctions qui respectent la structure, c'est-à-dire qui transforment une combinaison linéaire en la combinaison linéaire des images. Rotations, projections, symétries, dérivation des polynômes : tous ces objets relèvent de la même définition. Le chapitre établit les deux sous-espaces qui résument le comportement d'une application linéaire ( noyau et image ), puis le théorème du rang qui les relie, avant de montrer qu'une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base, résultat qui prépare la représentation matricielle.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre suppose acquis le vocabulaire des espaces vectoriels ( sous-espace, famille libre, base, dimension, somme directe ) et les notions d'injectivité et surjectivité.

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• prouver ou réfuter la linéarité d'une application par un calcul explicite ;
• déterminer noyau et image par la résolution d'un système et le rang d'une famille ;
• appliquer le théorème du rang et ses conséquences sur les endomorphismes ;
• construire une application linéaire en fixant l'image d'une base.

#Définition et première caractérisationCopier le lien

Définition. Soient et deux -espaces vectoriels. Une application est linéaire si pour tous et tout :

Cette condition unique condense les deux propriétés classiques : l'additivité ( cas ) et l'homogénéité ( cas ).

Propriétés immédiates. Toute application linéaire vérifie :

1. , car ;
2. ;
3. pour toute combinaison linéaire finie.

La propriété 1 fournit un test rapide de non-linéarité : si , l'application n'est pas linéaire.

Exemple travaillé ( test de linéarité ). L'application définie par est-elle linéaire ? Soient , et . Alors :

L'application est linéaire. En revanche ne l'est pas : . Et échoue aussi, car : l'homogénéité exige le degré 1.

Vocabulaire. L'ensemble des applications linéaires de dans se note ; c'est lui-même un espace vectoriel pour l'addition point par point. Si , on parle d'endomorphisme ( ensemble noté ). Une application linéaire à valeurs dans est une forme linéaire. Une application linéaire bijective est un isomorphisme ; un endomorphisme bijectif est un automorphisme.

Théorème de détermination. Une application linéaire est entièrement déterminée par l'image d'une base de : si est une base et si deux applications linéaires et coïncident sur chaque , alors . En effet, tout , et . Réciproquement, se donner arbitrairement vecteurs de définit une unique application linéaire avec , par la formule : l'unicité des coordonnées garantit la cohérence.

#Noyau et imageCopier le lien

Définitions. Pour :

Le noyau est un sous-espace de : il contient , et si alors . L'image est un sous-espace de : si et , alors appartient à l'image.

Théorème ( injectivité ). est injective si et seulement si .

Démonstration : si est injective et , alors , donc par injectivité. Réciproquement, si et , alors par linéarité, donc , donc .

De même, est surjective si et seulement si ( c'est la définition même ).

Propriété de calcul. Si est une base de :

L'inclusion de droite à gauche vient de la stabilité de l'image ; réciproquement, est bien combinaison des images des vecteurs de base. Pour calculer l'image, on détermine donc le rang de la famille .

Exemple travaillé ( noyau et image ). Soit définie par . L'application est linéaire ( les coordonnées sont des formes de degré 1, ou par calcul direct ).

Noyau : équivaut au système et . En soustrayant la première de la seconde : , donc , puis . Les solutions sont avec :

Le noyau n'est pas réduit à zéro : n'est pas injective.

Image : avec la base canonique, , , . Les deux premiers vecteurs ne sont pas colinéaires ( ) et engendrent : , et est surjective.

Vérification par le rang : . Cohérent.

#Théorème du rangCopier le lien

Théorème. Soit avec de dimension finie . Alors :

La dimension de l'image s'appelle le rang de , notée .

Idée de démonstration. Si , une base de a une image qui est une base de : une combinaison nulle donne , donc tous les nuls. Dans le cas général, on choisit une base du noyau, on la complète en une base de , et le même argument montre que est une base de l'image, d'où .

Conséquences :

• ;
• si , alors : une application linéaire d'un grand espace vers un petit espace ne peut pas être injective ;
• si , alors injective, surjective et bijective sont équivalentes ( voir ci-dessous ).

Conséquence pour les endomorphismes. Pour avec , les trois assertions suivantes sont équivalentes : injective, surjective, bijective.

#Dictionnaire : applications linéaires et matricesCopier le lien

Le même objet se lit de deux façons — comme application linéaire ou comme matrice — et ce dictionnaire est le passage obligé de tous les exercices d'examen.

Injectivité, surjectivité, rang.

• est injective si et seulement si .
• est surjective si et seulement si , c'est-à-dire (en dimension finie).
• est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.

Version matricielle. Soit et la famille des colonnes de , vue comme famille de vecteurs de . Alors :

Pour une matrice carrée , les énoncés suivants sont équivalents :

Ces équivalences découlent du théorème du rang. Elles sont spécifiques à la dimension finie : en dimension infinie, le décalage est surjectif sans être injectif.

Ce qui se lit sur la matrice et ce qui ne s'y lit pas. Le rang, l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité et les dimensions du noyau et de l'image sont des propriétés intrinsèques de l'application, mais elles se calculent sur n'importe quelle matrice représentative : , et . De même, si est une famille de et sa représentation dans une base de , alors est libre (respectivement génératrice, une base) si et seulement si l'est. C'est ce qui autorise à travailler systématiquement en coordonnées.

Conséquence pratique pour les endomorphismes. Si (dimensions finies égales), alors pour :

C'est le résultat le plus utilisé de tout le chapitre : il permet, pour prouver qu'un endomorphisme est bijectif, de ne vérifier qu'une seule des deux propriétés. Et c'est faux sans l'égalité des dimensions : peut être injective sans être surjective.

Exemple travaillé (lecture d'une matrice). Soit

On échelonne : , , puis donnent deux pivots. Donc :

• l'application associée n'est pas injective () ni surjective () ;
• les colonnes 1 et 3 forment une base de l'image (ce sont les colonnes à pivot) ;
• le noyau se lit sur les relations entre colonnes. La colonne 2 vaut la colonne 1, ce qui donne le vecteur ; et la colonne 4 vaut (vérification : ), ce qui donne . Ces deux vecteurs sont indépendants et le noyau est de dimension 2 : c'est une base.

C'est exactement le geste attendu en examen : une matrice, trois lectures (rang, noyau, image) obtenues du même échelonnement.

#Projecteurs et symétriesCopier le lien

Projecteurs. Un endomorphisme est un projecteur lorsqu'il est idempotent : . Alors . En effet, pour tout :

et l'intersection est triviale : si , alors . On dit que est la projection sur parallèlement à .

Symétries. Un endomorphisme est une symétrie lorsqu'il est involutif : . Alors où ( vecteurs fixes ) et ( vecteurs changés en leur opposé ). La décomposition s'écrit , le premier terme étant fixe et le second anti-invariant. Lien avec les projecteurs : est un projecteur, et .

Exemple travaillé. Dans , soit la projection sur l'axe des abscisses. Vérifions : . Le noyau est l'axe des ordonnées , l'image l'axe des abscisses , et . La symétrie associée est , soit , la réflexion d'axe des abscisses : on vérifie .

#Exemples fondamentauxCopier le lien

Dérivation. Sur , l'application est linéaire ( car ). Son noyau est l'ensemble des polynômes de dérivée nulle : les constantes, donc de dimension 1. Son image est de dimension . Vérification du rang : .

Évaluation. Pour fixé, l'application , , est une forme linéaire surjective. Son noyau est l'ensemble des polynômes de degré au plus s'annulant en , c'est-à-dire les multiples de : , de dimension . Vérification : .

Rotation du plan. La rotation d'angle est l'endomorphisme de défini par :

Elle est linéaire ( calcul direct ), et son noyau est nul : si , la norme se conserve ( par développement ), donc . Endomorphisme de injectif : il est bijectif, d'inverse .

#Erreurs courantesCopier le lien

• Tester la linéarité uniquement sur des exemples. Vérifier sur un couple particulier ne prouve rien : la propriété doit être démontrée pour tous et tout , ou réfutée par un seul contre-exemple.
• Oublier de vérifier . C'est le test de non-linéarité le plus rapide : toute application linéaire envoie sur .
• Croire que l'image d'une base quelconque de est une base de l'image. Les engendrent toujours l'image, mais ils peuvent être liés ( ils le sont dès que le noyau est non trivial ). Une famille libre de a une image libre ; une base n'a une image qui est une base que si est injective.
• Appliquer « injective surjective » en dimension infinie. L'équivalence est propre aux endomorphismes en dimension finie.
• Confondre et . Quand , les deux vivent dans le même espace mais restent de natures différentes : le noyau mesure la perte d'information, l'image la couverture.

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( linéarité ). Parmi les applications suivantes de dans , déterminer lesquelles sont linéaires :

a)
b)
c)
d)

Vérification : a) linéaire ( formes de degré 1, calcul direct ). b) non : mais . c) non : . d) linéaire ( la transposition des coordonnées respecte combinaisons linéaires ).

Exercice 2 ( noyau et image ). Soit définie par . Déterminer et , et vérifier le théorème du rang.

Vérification : , donc de dimension 1. Le noyau est le plan d'équation , de dimension 2, de base par exemple et . Vérification : .

Exercice 3 ( former linéaire sur les matrices ). Soit définie par . Montrer que est linéaire, déterminer son rang et la dimension de son noyau.

Vérification : chaque coefficient de la combinaison est , donc . La forme est non nulle ( ) donc surjective : rang 1. Théorème du rang : .

Exercice 4 ( construction par l'image d'une base ). Construire l'unique application linéaire telle que et , puis calculer , le noyau et l'image de .

Vérification : . Donc . Le noyau vérifie donc : noyau nul, injective. L'image est engendrée par et , libres dans : plan d'équation , dimension 2. Rang : .

Exercice 5 ( projecteur ). Soit défini par , la projection sur la droite parallèlement au plan . Vérifier que est linéaire et idempotent, puis décomposer sur où est le plan .

Vérification : où désigne la somme des coordonnées, forme linéaire : est linéaire. Idempotence : , donc . Décomposition : et , qui vérifie bien . On a avec et .

Le théorème de détermination par l'image d'une base est la porte d'entrée du chapitre suivant : en rangeant les coordonnées des dans un tableau, on obtient la matrice de , et le calcul de devient un produit matriciel.