#Calcul matricielCopier le lien

Les matrices transforment les applications linéaires abstraites en tableaux de nombres que l'on peut calculer. Une fois des bases choisies, chaque application linéaire devient une matrice, la composition devient un produit, et la résolution d'un système devient une élimination. Ce chapitre construit ce dictionnaire, puis lui ajoute deux outils décisifs : l'inversion ( pour résoudre ) et le déterminant ( pour tester l'inversibilité et mesurer les volumes ). Tous les calculs sont menés jusqu'au bout et vérifiés.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre suppose acquis les espaces vectoriels de dimension finie ( base, coordonnées, dimension ), les applications linéaires ( noyau, image, rang ) et la résolution de systèmes par combinaisons linéaires.

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• additionner, multiplier, transposer des matrices, et connaître les pièges du produit ( non-commutativité, règles de simplification ) ;
• écrire la matrice d'une application linéaire dans des bases données et l'utiliser pour calculer des images ;
• inverser une matrice par la méthode du pivot de Gauss-Jordan ;
• calculer des déterminants et les utiliser pour tester l'inversibilité ;
• changer de base avec les matrices de passage.

#Définitions et premières opérationsCopier le lien

Une matrice à lignes et colonnes à coefficients dans est un tableau ; on note leur ensemble :

Somme et produit externe. Pour deux matrices de même taille, l'addition est terme à terme : . Le produit par un scalaire multiplie chaque coefficient : . Muni de ces deux opérations, est un espace vectoriel de dimension , de base canonique les matrices .

Produit matriciel. Le produit n'est défini que si le nombre de colonnes de égale le nombre de lignes de : si et , alors avec :

Le coefficient est le produit scalaire de la ligne de par la colonne de .

Exemple travaillé ( produit ). Avec :

on calcule ligne par ligne, colonne par colonne :

On constate : le produit matriciel n'est pas commutatif en général. On l'applique à droite et à gauche de la même colonne pour sentir la différence : alors que .

Propriétés du produit. Le produit est associatif : , ce qui autorise la notation pour les puissances d'une matrice carrée. Il est distributif sur l'addition. La matrice identité ( des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs ) est neutre : . En revanche, les règles de simplification habituelles tombent :

• n'entraîne pas ou . Contre-exemple : .
• avec n'entraîne pas . Contre-exemple : avec , et , on a . La simplification redevient licite lorsque est inversible.

Transposition. La transposée de s'obtient en échangeant lignes et colonnes : , avec . Règles : , , et la règle du produit retourné :

Vérification sur l'exemple : et .

#Matrice d'une application linéaireCopier le lien

Définition. Soient , une base de et une base de . La matrice de dans les bases et est la matrice dont la -ième colonne contient les coordonnées de dans :

La convention est : les images des vecteurs de base se lisent en colonnes. La première colonne est l'image du premier vecteur de base.

Formule fondamentale. Si est la colonne des coordonnées de dans et celle de dans , alors :

Justification : donc . La -ième coordonnée de vaut , qui est exactement la -ième ligne du produit .

Exemple travaillé ( écriture de la matrice et calcul d'une image ). Soit l'application linéaire vérifiant et . Dans les bases canoniques, la matrice de s'écrit, colonnes par colonnes :

Calculons . Les coordonnées de dans la base canonique sont , donc :

Vérification directe par linéarité : . Cohérent.

Application au système. Résolvons , soit avec . La matrice étant inversible, l'unique solution est :

Vérification dans le système initial : et . La solution est .

Composition. Si a pour matrice dans les bases et , alors :

Le produit matriciel n'est donc pas une définition arbitraire : il est exactement fabriqué pour représenter la composition. Cela explique son associativité ( la composition est associative ) et sa non-commutativité ( composer puis ne donne pas toujours puis ).

Correspondance structurelle. Le dictionnaire est complet :

• combinaison linéaire d'applications combinaison linéaire de matrices ( de même taille ) ;
• composition produit ( attention à l'ordre ) ;
• application identité matrice identité ;
• bijection linéaire matrice inversible ( section suivante ).

Le rang de la matrice ( dimension de l'espace engendré par ses colonnes ) est aussi le rang de , et le noyau de ( colonnes telles que ) est celui de .

#Inversion d'une matriceCopier le lien

Une matrice carrée est inversible s'il existe telle que . L'inverse, lorsqu'il existe, est unique. Traduction linéaire : est inversible si et seulement si l'application linéaire associée est bijective, ce qui équivaut ( endomorphisme en dimension finie ) à .

Pourquoi cela résout les systèmes. Si est inversible, le système a une unique solution pour tout second membre : en multipliant à gauche par , on obtient . ( Un système carré avec est dit de Cramer. )

Méthode de Gauss-Jordan. On juxtapose et , puis on applique les opérations élémentaires sur les lignes jusqu'à transformer en ; la partie droite devient alors . Si se ramène à une ligne nulle, la matrice n'est pas inversible.

Exemple travaillé ( inversion complète ). Inversons :

Étape 1 : :

Étape 2 : :

Étape 3 : :

Vérification :

Application au système. Résolvons , soit . Alors :

Vérification dans le système initial : n'est pas satisfait, signalons l'erreur et reprenons : et , donc . Revérification : et . La solution est .

Formule en dimension 2. Pour avec :

Contrôle sur l'exemple : , . On retrouve bien le résultat de Gauss-Jordan.

#DéterminantsCopier le lien

Définition en dimensions 1 et 2. pour une matrice . Pour :

Développement selon une ligne ou une colonne. En dimension , pour une ligne fixée :

où est la matrice obtenue en supprimant la ligne et la colonne ( mineur ). Le résultat ne dépend pas de la ligne ou colonne choisie : on choisit celle qui contient le plus de zéros.

Exemple travaillé ( déterminant ). Calculons le déterminant de :

Développement selon la première colonne ( qui contient un zéro ) :

Vérification par la règle de Sarrus : . Cohérent.

Propriétés fondamentales.

• ;
• ;
• pour ;
• échanger deux lignes change le signe du déterminant ; ajouter à une ligne un multiple d'une autre ne change pas le déterminant ;
• inversible, et alors ;
• une matrice triangulaire a pour déterminant le produit de ses coefficients diagonaux.

La caractérisation inversible découle de : si est inversible alors impose . Réciproquement, empêche l'apparition d'une ligne nulle lors du pivot de Gauss, donc la matrice se réduit à l'identité.

Interprétation géométrique. En dimension 2, est l'aire du parallélogramme engendré par les images des vecteurs de base ; en dimension 3, est le volume du parallélépipède image de l'unité. Le signe indique l'orientation ( préservée ou renversée ). Une matrice de déterminant nul écrase l'espace sur une dimension plus petite : pas de bijection possible. Exemple : la projection a pour matrice de déterminant nul, et écrase le plan sur une droite ( aires multipliées par 0 ).

Pivot de Gauss sur les déterminants. Pour les grandes matrices, on triangularise par opérations de lignes en suivant l'effet de chaque opération sur le déterminant, puis on multiplie les pivots diagonaux.

Matrices élémentaires et opérations sur les lignes. Une matrice élémentaire est obtenue en appliquant une opération élémentaire à la matrice identité . Multiplier à gauche par une matrice élémentaire réalise l'opération correspondante sur les lignes ; multiplier à droite agit sur les colonnes. Les trois familles :

• : identité modifiée par un coefficient en position . Le produit effectue la transvection . Son déterminant vaut .
• : identité dont le coefficient vaut . Le produit effectue la dilatation . Son déterminant vaut .
• : identité avec les lignes et échangées. Le produit effectue l'échange . Son déterminant vaut .

Toutes ces matrices sont inversibles (, , ), ce qui explique pourquoi les opérations élémentaires préservent l'inversibilité, le rang, et — pour les transvections — le déterminant.

Application : factorisation LU. Toute matrice dont tous les mineurs principaux sont non nuls s'écrit avec triangulaire inférieure à diagonale unité et triangulaire supérieure (la forme échelonnée). L'intérêt est de résoudre pour plusieurs seconds membres successifs : la factorisation coûte une fois, puis chaque résolution ne coûte que .

Formule des cofacteurs. On appelle comatrice de , notée , la matrice des cofacteurs . Si est inversible :

La transposée est indispensable : la comatrice non transposée multipliée par donne à condition de prendre la transposée, c'est-à-dire . C'est l'erreur la plus fréquente sur cette formule. En pratique, cette méthode est réservée aux petites dimensions ou aux matrices à paramètres : pour , le pivot de Gauss-Jordan est bien plus efficace.

Déterminant et rang par les mineurs. Le rang de est la taille du plus grand mineur non nul extrait de . Autrement dit, si et seulement si possède un mineur d'ordre non nul. Cette caractérisation est précieuse pour les matrices théoriques (à coefficients symboliques) où l'échelonnement numérique n'est pas praticable.

Déterminant de Vandermonde. Pour :

Conséquence immédiate. Le déterminant de Vandermonde est non nul si et seulement si les sont deux à deux distincts. C'est ce qui prouve qu'un polynôme de degré est déterminé par ses valeurs en points distincts (interpolation de Lagrange), et que la famille est une base de .

Application classique. Soit . La ligne vaut , donc la différence vaut pour tout : les lignes sont en progression arithmétique de raison constante. Il en résulte , c'est-à-dire : les trois premières lignes sont liées, donc et pour tout . Un calcul direct confirme : , , et le rang vaut dans tous ces cas.

#Changement de baseCopier le lien

Matrice de passage. Soient et deux bases de . La matrice de passage de vers a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de ( la nouvelle base ) exprimés dans ( l'ancienne ). Elle est carrée et inversible, d'inverse la matrice de passage de vers .

Effet sur les coordonnées. Si et désignent les colonnes de coordonnées d'un même vecteur dans et :

Attention au sens : c'est la nouvelle coordonnée que multiplie la matrice de passage pour donner l'ancienne.

Effet sur les matrices d'endomorphisme. Si est la matrice de dans et dans :

Deux matrices ainsi reliées sont dites semblables : elles représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. La trace et le déterminant sont invariants par changement de base ( , ), car ils ne dépendent que de l'application, pas de la base choisie pour l'écrire.

Exemple travaillé ( changement de base complet ). Dans , soit l'endomorphisme de matrice dans la base canonique . Prenons la nouvelle base avec , . La matrice de passage a pour colonnes les coordonnées de dans la base canonique :

( formule en dimension 2 avec ). On calcule ensuite :

Vérification : calculons directement . La matrice donne , donc ( en effet ). La première colonne de doit être : c'est le cas. De même ( car ), et la deuxième colonne convient. Cohérent. On observe que le déterminant est inchangé : , et la trace aussi : .

#Erreurs courantesCopier le lien

• Lire les images en lignes au lieu de colonnes. La colonne de la matrice contient ; intervertir lignes et colonnes revient à considérer la transposée, qui représente une autre application.
• Simplifier par non inversible. Les règles de simplification ne valent que si est inversible ; sinon des diviseurs de zéro existent.
• Inverser l'ordre dans . La formule correcte est ( l'enveloppe d'abord, puis le gant, puis la main ).
• Poser un produit de tailles incompatibles. et ne se multiplient ( dans cet ordre ) que si ; écrire exige une vérification de tailles systématique.
• Écrire ou sans réfléchir au sens de la matrice de passage. Avec la convention « colonnes de = nouvelle base dans l'ancienne », les formules sont et .
• Croire que . Faux en général : avec , on a mais . Le déterminant est multiplicatif, pas additif.

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( produit et non-commutativité ). Calculer et pour :

et vérifier que les deux sont inversibles l'un par l'autre en calculant également et .

Vérification : et , donc . et .

Exercice 2 ( matrice d'une application ). Soit définie par . Écrire la matrice de dans les bases canoniques, calculer par produit matriciel et vérifier directement.

Vérification : ( colonnes : , , ). Produit : . Direct : .

Exercice 3 ( inversion par Gauss-Jordan ). Inverser la matrice et vérifier le calcul.

Vérification : transforme en . Puis ( après normalisation ) mène à . Contrôle par la formule : et . Produit : .

Exercice 4 ( déterminant et inversibilité ). Calculer le déterminant de et dire si la matrice est inversible.

Vérification : développement selon la première ligne : : la matrice est inversible.

Exercice 5 ( changement de base ). Soit l'endomorphisme de de matrice dans la base canonique. Écrire la matrice de dans la base .

Vérification : . Directement : et , donc la matrice dans est , diagonale. Par la formule : , , . Trace et déterminant inchangés : et . Cet exemple est une première rencontre avec la diagonalisation : la nouvelle base est formée de directions invariantes.

La correspondance entre applications linéaires et matrices est complète : systèmes, inversibilité et déterminants forment un même triptyque. Le chapitre suivant applique ces outils à la résolution effective des systèmes linéaires par le pivot de Gauss.