#Systèmes linéairesCopier le lien

La résolution de systèmes d'équations linéaires est l'un des problèmes les plus fondamentaux en mathématiques appliquées et en informatique. Des applications aussi diverses que la simulation physique, l'apprentissage automatique, l'optimisation économique ou le rendu 3D font appel quotidiennement à des solveurs de systèmes linéaires. L'algorithme du pivot de Gauss fournit une méthode systématique et efficace pour résoudre ces systèmes ; il est aussi l'outil de calcul central pour les noyaux, images et rangs du chapitre précédent.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre s'appuie sur l'écriture matricielle et les notions de rang, noyau et image vues dans les chapitres précédents.

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• mettre un système sous forme matricielle et décrire la structure de l'ensemble des solutions ;
• appliquer le pivot de Gauss ( opérations élémentaires, descente, remontée ) sur des exemples complets ;
• classer un système ( solution unique, infinité, incompatibilité ) à l'aide du rang de la matrice augmentée ;
• identifier les variables libres et paramétrer l'ensemble des solutions.

#Définitions et écriture matricielleCopier le lien

#Système linéaireCopier le lien

Un système linéaire de équations à inconnues s'écrit sous la forme :

Les coefficients sont les coefficients du système et les constituent le second membre. Résoudre le système, c'est déterminer l'ensemble de toutes les solutions.

#Écriture matricielleCopier le lien

Ce système se réécrit de manière compacte sous forme matricielle , où :

• est la matrice des coefficients, de taille ;
• est le vecteur des inconnues ;
• est le vecteur second membre.

L'écriture relie le problème à l'algèbre linéaire : résoudre le système revient à chercher les antécédents de par l'application linéaire .

#Structure des solutionsCopier le lien

L'ensemble des solutions d'un système linéaire possède une structure géométrique remarquable.

#Système homogène ( B = 0 )Copier le lien

Lorsque le second membre est nul, l'ensemble des solutions forme un sous-espace vectoriel de . Ce sous-espace est précisément le noyau de la matrice :

Ce sous-espace contient toujours au moins le vecteur nul : un système homogène n'est jamais incompatible.

#Système avec second membreCopier le lien

S'il existe une solution particulière ( un vecteur tel que ), alors l'ensemble complet des solutions est un espace affine :

Cette formule exprime une idée fondamentale :

Solution générale = solution particulière + solution homogène.

La démonstration tient en deux lignes : si et , alors donc ; réciproquement, tout avec est solution. Si le système n'a pas de solution particulière, on dit qu'il est incompatible ( ensemble des solutions vide ).

#Algorithme du pivot de GaussCopier le lien

L'algorithme de Gauss transforme le système en un système échelonné ( triangulaire ) équivalent, beaucoup plus simple à résoudre. L'idée est d'éliminer progressivement les inconnues dans les équations successives.

#Opérations élémentairesCopier le lien

Les trois opérations suivantes transforment un système en un système équivalent ( même ensemble de solutions ) :

1. Échange de lignes :
2. Dilatation : avec
3. Transvection : avec

Ces opérations correspondent à des multiplications à gauche par des matrices inversibles ; elles préservent l'espace des solutions, ce qui justifie la correction de l'algorithme.

#Méthode détailléeCopier le lien

┌ * * * * ┐    ┌ * * * * ┐
│ * * * * │ → │ 0 * * * │
│ * * * * │    │ 0 0 * * │
└ * * * * ┘    └ 0 0 0 * ┘

#Exemple completCopier le lien

Résolvons le système suivant :

#Rang et interprétationCopier le lien

Le nombre de pivots non nuls obtenus à la fin de l'algorithme est appelé le rang du système, noté . Le rang de la matrice augmentée se lit de la même façon, en échelonnant les deux blocs simultanément ( ce que fait naturellement le pivot appliqué au système complet ).

#Critères de résolution ( théorème de Rouché-Fontené )Copier le lien

où est le nombre d'inconnues. La dimension de l'espace des solutions est exactement , conformément au théorème du rang.

Le cas d'incompatibilité se détecte en cours de calcul : il correspond à une ligne du système échelonné de la forme avec , qui fait augmenter le rang de sans celui de .

#Cas carré : systèmes de CramerCopier le lien

Lorsque ( autant d'équations que d'inconnues ), le système admet une unique solution si et seulement si , c'est-à-dire si ( matrice inversible ). On parle alors de système de Cramer, et la solution s'écrit ou par les formules de Cramer. En pratique, le pivot de Gauss reste la méthode de référence : inverser une matrice coûte plus cher que résoudre directement.

#Variables libresCopier le lien

Lorsque , les inconnues correspondant aux colonnes sans pivot sont appelées variables libres. Elles peuvent prendre n'importe quelle valeur et servent de paramètres pour exprimer l'ensemble des solutions : les inconnues principales ( celles des colonnes avec pivot ) s'expriment en fonction des variables libres par la remontée.

Exemple. Résolvons le système homogène :

L₂ ← L₂ - 2L₁ donne . Deux pivots ( colonnes 1 et 2 ), donc est libre : posons . Alors et . L'ensemble des solutions est :

Une droite vectorielle de , de dimension : c'est exactement le noyau de l'application linéaire associée.

#Coût réel de Cramer et du pivotCopier le lien

Les formules de Cramer sont élégantes mais catastrophiques en pratique, et le cours insiste explicitement sur ce point. Résoudre un système par Cramer demande déterminants d'ordre , chacun calculé en opérations par développement : le coût total est de l'ordre de . Le pivot de Gauss est en — environ opérations. La comparaison est sans appel :

À , Cramer est déjà dix mille milliards de fois plus coûteux que Gauss. Les formules de Cramer servent donc à démontrer (existence, unicité, régularité par rapport aux paramètres, cas des matrices à coefficients symboliques), jamais à calculer numériquement au-delà de ou .

#Interprétation géométrique dans le planCopier le lien

Résoudre le système , revient à chercher les points d'intersection des deux droites

Les directions de ces droites sont les vecteurs et . Or

(pour ) : le déterminant nul signifie exactement que les deux directions sont colinéaires. On retrouve alors les trois cas :

• : directions distinctes, un unique point d'intersection ;
• et droites confondues : une infinité de solutions (la droite entière) ;
• et droites parallèles distinctes : aucune solution.

C'est le dictionnaire géométrique du critère algébrique : le rang distingue « confondues » de « parallèles distinctes » — c'est précisément l'écart entre et .

#Systèmes à paramètre : la méthode attendueCopier le lien

Les examens portent très souvent sur un système dépendant d'un paramètre , comme

La méthode est toujours la même et il faut la suivre dans cet ordre :

1. Calculer le déterminant .
2. Traiter le cas générique : si , le système est de Cramer, donc une solution unique, que l'on explicite par Cramer ou par substitution.
3. Traiter les cas particuliers et séparément, en repartant du système : on y trouve soit une infinité de solutions (si la condition de compatibilité est satisfaite), soit aucune.

L'erreur classique est de diviser par sans discuter son annulation : la discussion des cas particuliers est ce qui est noté.

#Complexité algorithmiqueCopier le lien

L'algorithme de Gauss a une complexité de opérations pour une matrice carrée . C'est remarquablement efficace : résoudre un système de 1000 équations nécessite de l'ordre de opérations, soit moins d'une seconde sur un ordinateur moderne.

Des variantes optimisées existent pour des matrices particulières ( creuses, bande, symétriques définies positives ) qui réduisent encore cette complexité, et la décomposition LU ( que vous verrez en L2 ) factorise une fois la matrice pour résoudre plusieurs second membres successifs au coût réduit de par résolution.

#Erreurs courantesCopier le lien

• Oublier d'appliquer l'opération au second membre. Les opérations élémentaires s'appliquent à la ligne augmentée complète, coefficients et second membre ensemble.
• Diviser par un pivot nul. Si le pivot est nul, il faut échanger des lignes ; jamais ne diviser par zéro ni supposer le pivot non nul sans vérifier.
• Multiplier une ligne par . La dilatation exige : multiplier par zéro détruit une équation et change l'ensemble des solutions.
• Lire le rang sur la matrice non échelonnée. Le rang est le nombre de pivots de la forme échelonnée, pas le nombre de lignes non nulles de départ.
• Confondre inconnues principales et libres. Les variables libres sont celles des colonnes sans pivot ; les autres se calculent par remontée en fonction des premières.
• Conclure à l'incompatibilité trop vite. Une équation à coefficients tous nuls est compatible si son second membre est nul ( équation redondante à ignorer ) ; elle n'est incompatible que si .

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( résolution complète ). Résoudre par le pivot de Gauss :

Éléments de vérification : L₂ ← L₂ - 2L₁ et L₃ ← L₃ - L₁, puis L₃ ← L₃ + (1/3)L₂ conduit à trois pivots ; la remontée donne l'unique solution ( vérifier : , , ).

Exercice 2 ( système à paramètre ). Discuter selon les valeurs de le système :

Éléments de vérification : le déterminant vaut . Si : solution unique . Si : les deux équations se confondent en , infinité de solutions . Si : et sont contradictoires, aucune solution.

Exercice 3 ( noyau et variables libres ). Déterminer l'ensemble des solutions du système homogène :

Éléments de vérification : L₂ ← L₂ - 2L₁ donne une ligne nulle ( équation redondante ), L₃ ← L₃ - L₁ donne ; deux pivots, donc avec libre : solution , .

Exercice 4 ( structure des solutions ). Soit le système avec et . Vérifier que est une solution particulière, décrire , et en déduire toutes les solutions.

Éléments de vérification : ✓ ; ( rang 1 ) ; solutions , : une droite affine.

Exercice 5 ( interpolation ). Trouver le polynôme tel que , et .

Éléments de vérification : en écrivant , le système , , se résout en , : , à contrôler sur les trois valeurs.