#Algèbre linéaire & Calculus IICopier le lien

Licence Mathématiques / Informatique — Semestre 2

#Plan du coursCopier le lien

1. Espaces euclidiens : produit scalaire et orthogonalité
2. Déterminants
3. Valeurs propres et diagonalisation
4. Intégrales généralisées
5. Séries numériques et séries entières

#1. Espaces euclidiensCopier le lien

#Produit scalaire canoniqueCopier le lien

#Inégalité de Cauchy-SchwarzCopier le lien

Égalité si et seulement si et sont colinéaires.

#Gram-SchmidtCopier le lien

Toute famille libre s'orthonormalise : , puis .

#2. DéterminantsCopier le lien

#Définition et propriétésCopier le lien

• Multilinéaire, alterné,
• Triangulaire : produit des coefficients diagonaux
• Interprétation : volume signé, formule de changement de variables

#3. Valeurs propres et diagonalisationCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

#Méthode complèteCopier le lien

1. Polynôme caractéristique
2. Racines = valeurs propres, contrôlées par et
3. Sous-espaces propres
4. Diagonalisation :

#Théorème spectralCopier le lien

Toute matrice symétrique réelle est orthogonalement diagonalisable : .

#4. Intégrales généraliséesCopier le lien

#Les deux types d'impropretéCopier le lien

• Borne infinie :
• Singularité :

#Intégrales de RiemannCopier le lien

#Méthode universelleCopier le lien

Équivalents (signe constant) : même nature. Doubles intégrales impropres, découper en et exiger la convergence des deux. Références : gaussienne , Gamma .

#5. Séries numériquesCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

#CritèresCopier le lien

• Comparaison () et équivalents (, même nature)
• d'Alembert : , converge si , diverge si
• Cauchy : , mêmes seuils
• Leibniz : , : converge,

#RéférencesCopier le lien

Géométrique si ; Riemann converge ssi ; exponentielle pour tout .

#6. Séries entièresCopier le lien

#Rayon de convergenceCopier le lien

• Convergence absolue sur , divergence sur
• Sur le disque ouvert : dérivation et intégration terme à terme, même rayon

#Développements usuelsCopier le lien

#RésuméCopier le lien

• Produit scalaire : géométrie, projections, moindres carrés
• Déterminant : volume, inversibilité, systèmes de Cramer
• Diagonalisation : puissances, systèmes différentiels, théorème spectral
• Intégrales généralisées : équivalents et Riemann, convergence absolue, Gamma
• Séries : comparaison, d'Alembert, Leibniz, séries entières et rayon de convergence

Contrôles systématiques en examen : trace et déterminant pour les valeurs propres ; découpage et équivalents pour les intégrales ; et critères pour les séries.