#Algèbre linéaire & Calculus II
Ce module prolonge l'algèbre linéaire du premier semestre : le produit scalaire ajoute une géométrie, le déterminant un volume, la diagonalisation révèle la structure profonde d'un endomorphisme. La partie analyse étend l'intégrale et la sommation aux situations limites : intervalles non bornés, intégrandes singulières, sommes infinies. Ces deux volets préparent directement les équations différentielles, l'analyse de Fourier et l'analyse numérique des semestres suivants.
#Prérequis
Avant d'aborder ce module, vous devez maîtriser :
- les espaces vectoriels, bases, dimension et rang (Algèbre linéaire 1) ;
- le calcul matriciel : produit, inversion par le pivot de Gauss, résolution de systèmes linéaires ;
- les suites numériques : convergence, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison ;
- l'intégrale sur un segment : primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable.
#Objectifs pédagogiques
À l'issue de ce module, vous saurez :
- orthogonaliser une famille de vecteurs par le procédé de Gram-Schmidt ;
- projeter orthogonalement sur un sous-espace et calculer une distance ;
- calculer un déterminant par cofacteurs ou par pivot, et l'interpréter comme un volume ;
- diagonaliser une matrice, en déduire ses puissances et résoudre des systèmes différentiels ;
- déterminer la nature d'une intégrale généralisée ou d'une série numérique ;
- manipuler les développements en série entière usuels et leur rayon de convergence.
#Programme d'algèbre linéaire
#Espaces euclidiens et produit scalaire
Le produit scalaire enrichit un espace vectoriel réel d'une notion de géométrie : longueurs, angles, orthogonalité. Dans , le produit scalaire canonique est défini par . L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de définir l'angle entre deux vecteurs, et le procédé de Gram-Schmidt transforme toute base en base orthonormée. C'est l'outil clé des projections orthogonales, des moindres carrés et de la décomposition QR.
#Déterminants
Le déterminant d'une matrice carrée encode des informations géométriques (volume signé du parallélépipède) et algébriques (inversibilité). Il est multilinéaire alterné, vérifie , et est inversible si et seulement si . On le calcule par développement selon une ligne ou une colonne, ou plus efficacement par le pivot de Gauss.
#Valeurs propres et diagonalisation
Un scalaire est valeur propre de s'il existe un vecteur non nul tel que . Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique . Lorsque admet une base de vecteurs propres, on écrit , ce qui ramène le calcul de et la résolution de à des calculs scalaires.
#Programme de Calculus II
#Intégrales généralisées
Lorsque l'intervalle d'intégration est non borné ou que l'intégrande présente une singularité, on définit l'intégrale comme limite d'intégrales propres. Par exemple :
Les critères de comparaison et d'équivalence permettent de conclure sans calculer explicitement de primitive.
#Séries numériques
Une série converge si la suite des sommes partielles admet une limite finie. Les critères classiques (comparaison, d'Alembert, Cauchy, séries alternées) forment la boîte à outils de l'étude de convergence. Les séries entières généralisent ces concepts et sont omniprésentes en physique et en traitement du signal.
#Exemple type d'examen
Énoncé. Étudier la convergence de puis calculer sa somme.
Corrigé. Les termes sont positifs et
Le critère de d'Alembert assure la convergence. Pour la somme, on part de la série géométrique pour , que l'on dérive terme à terme : , donc . En :
Vérification. , et le reste est majoré par , cohérent avec la limite 2.
#Exercice de démarrage
Soit . Calculez et les valeurs propres, puis vérifiez que la trace et le déterminant de sont respectivement la somme et le produit des valeurs propres.
Correction. , donc . On vérifie et . Ces deux identités, valables pour toute matrice carrée, fournissent un contrôle systématique des calculs de valeurs propres.