#Intégrales généraliséesCopier le lien

Une intégrale généralisée (ou impropre) étend la notion d'intégrale de Riemann aux cas où l'intervalle d'intégration est non borné ou l'intégrande n'est pas bornée. Ces intégrales apparaissent naturellement en probabilités, en physique et en analyse de Fourier.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Prérequis. Intégrale sur un segment : primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable, théorème fondamental de l'analyse. Limites de fonctions, comparaison et équivalents.

Objectifs. Distinguer les deux types d'impropreté (borne infinie, singularité), calculer des intégrales généralisées convergentes par passage à la limite, déterminer la nature d'une intégrale par comparaison ou équivalent sans calculer de primitive, connaître les intégrales de référence (Riemann, Gauss, Gamma) et utiliser la dérivation sous le signe intégral.

#Types d'intégrales généraliséesCopier le lien

#Intervalle non bornéCopier le lien

Soit continue par morceaux sur . L'intégrale est définie comme la limite :

Si cette limite existe et est finie, l'intégrale converge. Sinon, elle diverge (vers ou sans limite).

Exemple fondamental (Riemann en l'infini) :

Démonstration. Pour , une primitive est , donc :

Pour , l'exposant donne . Pour , : divergence. ∎

#Singularité en un pointCopier le lien

Si est continue par morceaux sur mais non bornée au voisinage de , on définit :

Exemple (Riemann en 0) :

Démonstration. Pour :

et pour , . ∎

Inversion remarquable des seuils : en , il faut pour converger ; en la singularité , il faut . L'intégrale , impropre aux deux extrémités, diverge donc pour tout : l'un des deux côtés violera toujours son seuil. Pour on découpe toujours en et les deux morceaux doivent converger.

#Linéarité et relation de ChaslesCopier le lien

Sur un intervalle où et ont des intégrales convergentes, et . La relation de Chasles s'étend : , chacun des membres étant défini séparément. Attention : la somme de deux intégrales divergentes peut converger (par exemple , trivialement ; plus subtilement ) : la linéarité ne se manipule que sur des intégrales convergentes.

#Intégrales de référenceCopier le lien

#Intégrales de RiemannCopier le lien

#Intégrale gaussienneCopier le lien

Démonstration. Posons (l'intégrale sur vaut par parité). Par le théorème de Fubini sur puis passage à la limite en (justifié par la convergence absolue) :

Le passage en coordonnées polaires (dont le jacobien vaut , cf. chapitre Déterminants) transforme ce domaine en :

d'où puis . La convergence est assurée car dès que et converge. ∎

Ce résultat fondamental est à la base de la loi normale en probabilités : la densité intégrée à 1 sur par ce calcul (avec ).

Vérification numérique : , déjà de , en accord avec la règle des trois sigmas gaussienne.

#Fonction GammaCopier le lien

La fonction Gamma généralise la factorielle aux réels positifs :

Convergence. L'intégrale est doublement impropre. En : dès que est assez grand, car l'exponentielle domine toute puissance ; l'intégrale converge. En : et converge si et seulement si , soit . D'où le domaine .

Propriété fondamentale : pour et pour .

Démonstration par intégration par parties. Pour et grand :

Les termes intégrés et tendent vers 0 quand (croissance comparée) et (car ). À la limite :

Puis et la récurrence donne par récurrence immédiate. ∎

Vérification : et le calcul direct (intégration par parties deux fois). Valeur remarquable : , conséquence du changement de variable dans l'intégrale gaussienne.

#Critères de convergenceCopier le lien

#Convergence absolueCopier le lien

L'intégrale converge absolument si converge.

Théorème : la convergence absolue implique la convergence.

Démonstration. Pour tous , l'inégalité triangulaire intégrale donne . Si converge, le critère de Cauchy pour les intégrales garantit que est arbitrairement petit pour assez grands, et donc que converge. ∎

Comme pour les séries, la réciproque est fausse : converge (intégration par parties, cf. exercice complémentaire) mais diverge : sur chaque période , reste minorée par , donc , et la somme des diverge comme la série harmonique.

#Critère de comparaisonCopier le lien

Si pour assez grand :

• converge converge
• diverge diverge

Démonstration. Les fonctions et sont croissantes (intégrandes positives). La première est majorée par la limite finie de la seconde ; une fonction croissante majorée converge. Le second point est la contraposée du premier. ∎

#ÉquivalentsCopier le lien

Si avec de signe constant au voisinage de l'infini, alors et ont même nature.

Application pratique : identifier le terme dominant et comparer à une intégrale de Riemann.

Exemples travaillés :

1. : en , (le terme domine ), et converge : convergence.

2. : en , avec exposant : convergence.

3. : par le changement de variable , :

L'intégrale diverge. Plus généralement, converge si et seulement si : c'est la « série de Riemann du logarithme », même seuil que mais décalé d'un échelon logarithmique.

Réflexe d'examen : pour une intégrale doublement impropre, découper en deux et étudier chaque morceau séparément ; la convergence exige celle des deux.

#Intégrales à paramètresCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Soit . On étudie la régularité de en fonction de : continuité, dérivabilité, calcul de dérivées.

#Théorème de continuité (domination)Copier le lien

S'il existe intégrable sur telle que pour tout au voisinage de et tout , et si est continue par morceaux avec quand , on peut passer la limite sous le signe intégral :

Principe de la preuve. L'écart se majore en deux morceaux : . Le second morceau est petit pour grand car est intégrable ; le premier l'est ensuite pour proche de par convergence uniforme sur le segment . L'éventail puis referme la preuve. ∎

#Théorème de dérivation sous l'intégrale (domination de la dérivée)Copier le lien

Si existe et est dominée par intégrable (), alors est dérivable et :

Exemple classique : calcul de pour . Le changement de variable donne directement . La dérivation sous l'intégrale fournit le même résultat : (dominée par intégrable dès que ), et la dérivation de redonne , dont on vérifie la cohérence en : .

Ce théorème est essentiel pour calculer des intégrales par dérivation de paramètres, notamment les intégrales de Laplace et de Fresnel.

#ApplicationsCopier le lien

#Transformée de LaplaceCopier le lien

Outil fondamental pour résoudre les équations différentielles linéaires à coefficients constants : la dérivation dans le temps devient une multiplication par dans le domaine de Laplace, ce qui transforme une équation différentielle en équation algébrique. Exemples : pour (), , pour .

#Transformée de FourierCopier le lien

Base du traitement du signal et de l'analyse harmonique. Pour intégrable, est définie et continue (théorème de domination sous l'intégrale, avec intégrandes toutes dominées par intégrable). L'impropreté aux deux bornes exige .

#Exercice type d'examenCopier le lien

Énoncé. Étudier la nature des intégrales suivantes :

Correction.

(a) Intégrale doublement impropre (singularité en 0, borne infinie). Découpage .

En : avec : le morceau converge.

En : avec exposant : le morceau converge.

Conclusion : l'intégrale (a) converge. Sa valeur exacte se calcule par le changement de variable :

L'intégrande étant positive, la valeur est cohérente.

(b) En , seul point d'impropreté : , exposant : convergence.

(c) Seul point d'impropreté : . En effet en , donc : l'intégrande se prolonge continûment en 0, aucune singularité. En : intégration par parties, avec et :

Quand : le terme intégré tend vers 0 car , et par convergence de . Par le critère de Cauchy, l'intégrale (c) converge.

Elle ne converge pas absolument : diverge, car sur chaque demi-période , , et la série des diverge (terme en , série de Riemann divergente). L'intégrale (c) est donc semi-convergente.

Conclusion : (a) converge et vaut exactement , (b) converge, (c) converge mais pas absolument (semi-convergence).

Exercice complémentaire. Montrer que converge et calculer sa valeur. Indication : le changement de variable () transforme l'intégrale en . La convergence se lit sur l'intégrande cumulée : en , converge ; en 0, l'intégrande se prolonge continûment (). Vérification numérique : la substitution est exacte, donc la valeur est certaine.