#Séries numériquesCopier le lien

L'étude des séries est le prolongement naturel de l'étude des suites. Une série permet de donner un sens à la somme d'une infinité de termes, concept fondamental en analyse et en physique.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Prérequis. Suites numériques : convergence, opérations sur les limites, suites monotones et adjacentes, théorème des gendarmes, équivalents. Suites géométriques et limite de . Intégration sur un segment, pour le critère intégral.

Objectifs. Manipuler les sommes partielles et la condition nécessaire de convergence, connaître les séries de référence, déterminer la nature d'une série à termes positifs par comparaison, équivalents, d'Alembert ou Cauchy, traiter les séries alternées avec majoration du reste, distinguer convergence absolue et semi-convergence, et déterminer le rayon de convergence d'une série entière.

#Définitions fondamentalesCopier le lien

#Série et sommes partiellesCopier le lien

Soit une suite de nombres réels ou complexes. La série de terme général , notée , est la suite des sommes partielles :

La série n'est donc pas une « somme infinie » déjà constituée : c'est la suite , et toutes les propriétés de ce chapitre découlent des résultats sur les suites.

#ConvergenceCopier le lien

La série converge si la suite admet une limite finie . On note alors :

Si la suite diverge, la série est dite divergente. On appelle reste d'ordre la quantité : la série converge si et seulement si , et la vitesse de cette convergence mesure la qualité des approximations numériques .

#Condition nécessaire de convergenceCopier le lien

Si converge, alors .

Démonstration. Pour , on a . Si , alors par opérations sur les limites. ∎

Attention : la réciproque est fausse ! Contre-exemple : la série harmonique diverge bien que .

Démonstration de la divergence de la série harmonique (regroupement d'Oresme). Notons . Pour :

car chacun des termes, indexés par , majore . Si convergeait vers , les suites extraites et convergeraient toutes deux vers , donc , en contradiction avec la minoration par . La suite , croissante et non majorée, diverge vers . ∎

Vérification numérique : , , , , : il faut à peu près doubler pour gagner 0,7, signature de la croissance logarithmique .

Conséquence pratique : si , la série diverge grossièrement, sans calcul supplémentaire. Mais si , tout reste à faire : c'est l'objet des critères de convergence.

#Sommes télescopiquesCopier le lien

Si pour une suite , la somme partielle se simplifie en : la série converge si et seulement si converge.

Exemple. : la décomposition donne , qui tend vers 1. La série converge et sa somme vaut 1.

#Séries de référenceCopier le lien

#Série géométriqueCopier le lien

Démonstration. Pour , la somme partielle vaut (on multiplie par puis on soustrait). Si , alors , donc . Si , le terme général ne tend pas vers 0 : divergence grossière. ∎

Vérification : pour , , en accord avec la limite , l'erreur valant exactement .

#Série de RiemannCopier le lien

Démonstration par comparaison série-intégrale (principe). La fonction est positive et décroissante sur , donc pour :

En sommant de 2 à , la somme est encadrée par et , qui convergent si et seulement si (intégrales de Riemann, cf. chapitre Intégrales généralisées). Pour , la suite croissante des sommes partielles est majorée, donc converge. Pour , l'encadrement par une intégrale divergente entraîne la divergence ; le cas redonne la série harmonique, divergente, démontrée ci-dessus. ∎

#Série exponentielleCopier le lien

La convergence est très rapide : pour , , soit à moins de près avec 10 termes seulement. Le critère de d'Alembert ci-dessous confirme la convergence pour tout .

#Critères de convergenceCopier le lien

#Séries à termes positifsCopier le lien

Pour une série à termes positifs, la suite est croissante : elle converge si et seulement si elle est majorée. Tous les critères qui suivent comparent à une série de référence et reposent sur cette remarque.

Critère de comparaison

Si à partir d'un certain rang :

• Si converge, alors converge
• Si diverge, alors diverge

Application classique : pour , on a pour tout , donc convergence par comparaison à la série de Riemann .

Comparaison par équivalents

Si avec , alors et ont même nature (les deux convergent ou les deux divergent).

Attention : ce critère concerne la nature, pas la somme. On a , pourtant (télescopique) tandis que .

Exemple. Nature de ? On a quand , et diverge : la série étudiée diverge.

Critère de d'Alembert (rapport)

Si à partir d'un certain rang et :

• : la série converge
• : la série diverge grossièrement
• : on ne peut pas conclure

Idée de la preuve. Si , choisissons avec : à partir d'un rang , , donc par récurrence . La série est dominée par une géométrique convergente. Si , la suite est croissante à partir d'un rang, donc ne tend pas vers 0. ∎

Exemple d'application : pour :

La série converge (et vaut 2 : voir la partie séries entières).

Critère de Cauchy (racine n-ième)

Si et :

• : convergence
• : divergence grossière
• : on ne peut pas conclure

Exemple d'application : pour :

en utilisant la limite classique . La série converge.

Limite commune des deux critères (). Les séries de Riemann ont toutes , alors que certaines convergent () et d'autres divergent () : aucun des deux critères ne départage les cas frontière. Il faut alors revenir aux équivalents ou à la comparaison à une série de Riemann.

#Séries alternéesCopier le lien

Critère de Leibniz : si est une suite positive, décroissante, tendant vers 0, alors la série alternée converge.

Démonstration. Étudions les sommes partielles de même parité. D'une part, pour tout :

par décroissance de : la suite est décroissante. D'autre part :

donc la suite est croissante. Comme , toute minore la suite et toute majore . Les deux suites convergent, et leur différence tend vers 0 :

Elles convergent donc vers la même limite , et . La série converge. ∎

Exemple : .

Majoration du reste. Sous les hypothèses de Leibniz, le reste vérifie : il est majoré par le premier terme négligé, et il est du signe de ce terme. Pour approcher à près, il faut donc sommer environ 1000 termes, à comparer avec les 10 termes qui suffisent pour à près : la convergence des séries alternées est lente.

#Convergence absolueCopier le lien

Une série converge absolument si converge.

Théorème : la convergence absolue implique la convergence (mais pas l'inverse).

Démonstration (cas réel). Posons et , de sorte que et . Si converge, les séries à termes positifs et convergent par comparaison (). Par linéarité, converge ; le cas complexe s'obtient en séparant parties réelle et imaginaire. ∎

Une série qui converge mais pas absolument est dite semi-convergente. C'est le cas de : elle converge par Leibniz, mais diverge.

Danger de la semi-convergence : réordonner les termes d'une série semi-convergente peut changer sa somme, voire la faire diverger (théorème de réarrangement de Riemann). Une série absolument convergente, au contraire, est commutativement convergente : toute permutation de ses termes conserve la somme. C'est une raison profonde de privilégier la convergence absolue en analyse.

#Séries de fonctionsCopier le lien

#Convergence simple et uniformeCopier le lien

Une série de fonctions converge simplement sur si pour tout , la série numérique converge.

Elle converge uniformément si , où est le reste.

Pourquoi cela importe : la convergence uniforme est l'hypothèse qui permet d'échanger les limites. Si les sont continues et si converge uniformément sur , la somme est continue sur et on peut intégrer terme à terme sur un segment. Sans hypothèse de ce type, chacun de ces résultats peut échouer.

#Critère de convergence normaleCopier le lien

Si la série numérique converge, la série de fonctions converge absolument et uniformément sur : on parle de convergence normale. C'est le critère le plus simple à vérifier en pratique, et la convergence normale est plus forte que la convergence uniforme, elle-même plus forte que la convergence simple.

Exemple. La série converge normalement sur car , terme général d'une série de Riemann convergente. Sa somme est donc une fonction continue sur .

#Séries entièresCopier le lien

Une série entière est de la forme . Elle possède un rayon de convergence tel que :

• la série converge absolument pour ;
• la série diverge grossièrement pour .

Sur le cercle , tous les comportements sont possibles et doivent être étudiés cas par cas : diverge en , tandis que y converge absolument.

Le rayon de convergence se calcule par la formule de Hadamard :

et, lorsque le rapport admet une limite finie ou infinie, par la formule équivalente .

Exemple de calcul. Pour : , donc .

Propriétés (admises ici, démontrées en L3) : sur le disque ouvert de convergence, la somme d'une série entière est de classe et se dérive et s'intègre terme à terme ; les séries dérivées et intégrées ont le même rayon de convergence. Sur le bord , l'intégration peut améliorer la convergence et la dérivation la dégrader.

Calcul de somme par intégration terme à terme. Partant de pour , l'intégration terme à terme entre 0 et donne :

En (à l'intérieur du disque) : . Cette série approche bien plus vite que la série harmonique alternée : avec un reste majoré par , alors que la série alternée exige environ 1000 termes pour la même précision.

#Exemples fondamentauxCopier le lien

Utilisation : dérivation terme à terme. En dérivant dans le disque unité :

La série converge donc et vaut , en cohérence avec le critère de d'Alembert ci-dessus.

#Exercice type d'examenCopier le lien

Énoncé. Étudier la nature des séries suivantes :

Correction.

(a) Termes positifs : un équivalent suffit. En , les termes dominants donnent . Par comparaison à la série de Riemann convergente , la série converge.

(b) Termes positifs avec factorielle : d'Alembert s'impose. Posons :

La série converge, très rapidement. Vérification numérique de la décroissance des termes : , , .

(c) Série alternée : critère de Leibniz. Posons . Positivité et limite nulle : clair, car . Décroissance : pour , la suite est croissante (produit de deux suites positives croissantes), donc est décroissante. Leibniz s'applique : la série converge.

Elle ne converge pas absolument : la série diverge, comme le montre la comparaison série-intégrale avec (changement de variable , cf. chapitre Intégrales généralisées). La série (c) est donc semi-convergente.

Conclusion : (a) converge absolument, (b) converge absolument, (c) converge sans converger absolument (semi-convergence). Pour (c), le reste est majoré par .

Exercice complémentaire. Montrer que converge et calculer sa somme. Indication : décomposer et sommer télescopiquement pour obtenir , qui tend vers . Contrôle par équivalent : donne la convergence, et la valeur exacte est confirmée numériquement par croissant vers .