#Valeurs propres et diagonalisationCopier le lien

L'étude des valeurs propres révèle la structure intime d'une transformation linéaire. Elle permet de simplifier considérablement le calcul des puissances de matrices et la résolution de systèmes différentiels linéaires.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Prérequis. Espaces vectoriels, bases, dimension, noyaux et images, déterminants (développement par cofacteurs, déterminant d'une matrice triangulaire, critère d'inversibilité), produit scalaire canonique pour la partie symétrique.

Objectifs. Déterminer le spectre d'une matrice par le polynôme caractéristique, calculer les sous-espaces propres, contrôler les multiplicités algébrique et géométrique, diagonaliser une matrice, exploiter la diagonalisation pour calculer et résoudre , et appliquer le théorème spectral aux matrices symétriques.

#DéfinitionsCopier le lien

#Valeur propre et vecteur propreCopier le lien

Soit une matrice carrée . Un scalaire est valeur propre de s'il existe un vecteur non nul tel que :

Le vecteur est appelé vecteur propre associé à .

Interprétation géométrique : un vecteur propre est une direction préservée par la transformation. Seule la norme est modifiée par le facteur . Une rotation du plan d'angle ne possède aucune direction propre réelle : chaque vecteur non nul change de direction.

Caractérisation par le noyau : les trois affirmations suivantes sont équivalentes :

La première équivalence est la définition, la seconde traduit le critère d'inversibilité du chapitre Déterminants : est non inversible exactement quand son déterminant est nul.

#SpectreCopier le lien

L'ensemble des valeurs propres de est appelé le spectre de , noté . En particulier, non inversible.

#Sous-espace propreCopier le lien

Pour chaque valeur propre , le sous-espace propre est :

C'est l'ensemble de tous les vecteurs propres associés à , plus le vecteur nul. C'est un sous-espace vectoriel de : noyau d'une application linéaire. Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est toujours libre.

Démonstration. Par récurrence sur le nombre de vecteurs. Supposons avec et pour . En appliquant puis en retranchant fois la relation initiale :

Par hypothèse de récurrence, donc pour , puis puisque . ∎

#Polynôme caractéristiqueCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Le polynôme caractéristique de est :

C'est un polynôme de degré en , unitaire au signe près :

Pour , avec :

#Propriété fondamentaleCopier le lien

Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique. Sur , est toujours scindé (théorème de d'Alembert-Gauss) : toute matrice complexe possède valeurs propres comptées avec multiplicité. Sur , il peut manquer des racines : (rotation d'angle ) vérifie , sans valeur propre réelle.

#Trace, déterminant et valeurs propresCopier le lien

Théorème. Sur , en notant les valeurs propres comptées avec multiplicité :

Démonstration (cas trivialement diagonalisable, général admis). Toute matrice complexe est trigonalisable : il existe inversible telle que triangulaire supérieure, de diagonale . Alors car le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux. En développant le produit, le coefficient de vaut et le terme constant vaut . L'identification avec les coefficients de en termes de et donne le résultat. ∎

Ces deux identités sont le contrôle systématique de tout calcul de valeurs propres : vérifier que la somme des valeurs propres trouvées égale la trace, et le produit le déterminant.

#MultiplicitésCopier le lien

• Multiplicité algébrique : ordre de comme racine de
• Multiplicité géométrique :

On a toujours :

La minoration est la définition d'une valeur propre ; la majoration s'obtient en trigonalisant avec en premières colonnes : au plus coefficients diagonaux de valent .

#Théorème de Cayley-HamiltonCopier le lien

Théorème. : toute matrice annule son polynôme caractéristique.

Démonstration en dimension 2. Pour , on calcule , puis :

Conséquence pratique : les puissances successives de sont calculables par récurrence. En dimension 2, , donc s'exprime toujours sous la forme sans aucune diagonalisation.

#Calcul des valeurs propresCopier le lien

Vérifications de l'exemple. Pour : et , donc . Contrôle final par les identités du théorème Trace-déterminant : et . Les valeurs propres multipliant : et , cohérentes avec et .

Méthode de calcul en pratique. Pour racine simple, est de dimension 1 : le système se résout par le pivot et fournit immédiatement un vecteur propre. Pour la dimension 3, on développe selon la ligne ou la colonne la plus creuse, puis on factorise le polynôme en cherchant d'abord les racines évidentes parmi les diviseurs du terme constant.

#DiagonalisationCopier le lien

#DéfinitionCopier le lien

Une matrice est diagonalisable s'il existe une matrice inversible et une matrice diagonale telles que :

Les colonnes de sont les vecteurs propres, et la diagonale de contient les valeurs propres correspondantes, dans le même ordre.

#Critère de diagonalisabilitéCopier le lien

est diagonalisable si et seulement si :

1. est scindé (toutes ses racines sont dans )
2. Pour chaque valeur propre :

Cas particulier : si a valeurs propres distinctes, alors est diagonalisable. C'est une conséquence directe de la liberté des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes, démontrée plus haut.

Contre-exemple fondamental : vérifie , donc . Mais a pour noyau , de dimension 1 : , la matrice n'est pas diagonalisable. Autre argument élégant : par récurrence immédiate ; si était diagonalisable avec sa seule valeur propre 1, on aurait , ce qui est faux.

#Exemple complet de diagonalisationCopier le lien

Diagonalisons .

Étape 1. , valeurs propres 1 et 2 (distinctes, donc diagonalisable). Contrôle : , .

Étape 2. et . Contrôles : et .

Étape 3. Avec et , on a donc :

Vérification fondamentale : . Calcul effectif : et . L'égalité est exactement la lecture colonne par colonne des relations .

#ApplicationsCopier le lien

Calcul de puissances : si , alors :

Et est trivial : on élève chaque élément diagonal à la puissance . Pour l'exemple ci-dessus :

Vérifications : pour on retrouve ; pour , la formule donne , égal au produit direct . Double contrôle par Cayley-Hamilton : doit valoir , ce qui est le cas.

Systèmes différentiels : pour avec , les solutions sont des combinaisons d'exponentielles :

Exemple résolu. Reprenons et . On cherche . En : et , d'où , :

Vérifications : ; et . La condition initiale et l'équation sont toutes deux satisfaites. Comportement asymptotique : le terme en domine car , illustrant la règle générale : la stabilité de est gouvernée par le signe des parties réelles des valeurs propres.

#Matrices symétriquesCopier le lien

#Théorème spectralCopier le lien

Toute matrice symétrique réelle () est :

1. Diagonalisable dans
2. Orthogonalement diagonalisable : il existe orthogonale telle que

Orthogonalité des vecteurs propres : si sont des vecteurs propres de symétrique, associés à , alors .

Démonstration. En traduisant le produit scalaire canonique par :

La symétrie est utilisée à la troisième égalité. Donc et impose . En dimension 2, les deux sous-espaces propres sont alors automatiquement des droites orthogonales, et les vecteurs propres normalisés forment une matrice orthogonale. ∎

#Exemple spectralCopier le lien

: . Puis et , orthogonaux comme annoncé. Après normalisation :

Vérification : (colonnes orthonormées) et le produit . ∎

Ce théorème est fondamental en analyse en composantes principales (ACP : les axes principaux sont les vecteurs propres de la matrice de covariance), en mécanique (axes principaux d'inertie) et en mécanique quantique (observable hermitienne).

#Exercice type d'examenCopier le lien

Énoncé. Soit .

1. Diagonaliser : polynôme caractéristique, valeurs propres, sous-espaces propres, matrices et .
2. Calculer et contrôler le résultat par la trace et le déterminant.
3. Résoudre avec .

Correction.

1. . Valeurs propres et , distinctes donc diagonalisables. Contrôle immédiat : et .

Sous-espaces propres : donne ; donne . Contrôles : et .

Avec (colonnes ) et : et

2. avec :

Contrôles : la trace doit valoir ; or . Le déterminant doit valoir ; or . Les deux identités spectrales sont vérifiées. Contrôle supplémentaire en petit rang : la même formule en donne , égal au produit direct .

3. La solution générale est . En : et . Avec : , donc , :

Vérification : ; et .

Exercice complémentaire. Montrer que la matrice de rotation n'a aucune valeur propre réelle lorsque . Indication : calculer et observer que son discriminant vaut , strictement négatif sauf précisément quand . Pour , a pour seule valeur propre 1 ; pour , a pour seule valeur propre . Une rotation non triviale ne préserve aucune direction réelle, ce qui confirme l'interprétation géométrique des vecteurs propres.