#DéterminantsCopier le lien

Le déterminant associe à toute matrice carrée un scalaire qui encode des informations géométriques (volume signé, orientation) et algébriques (inversibilité). C'est l'outil central de l'étude des systèmes linéaires, du calcul des valeurs propres et de la formule de changement de variables en analyse.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Prérequis. Matrices, produit matriciel, opérations élémentaires et pivot de Gauss, inversibilité, espaces vectoriels et dimension.

Objectifs. Calculer un déterminant en dimension 2 et 3, développer selon une ligne ou une colonne, utiliser le pivot de Gauss efficacement, exploiter la multilinéarité, et appliquer les déterminants à l'inversibilité, à l'inversion de matrices et au volume.

#DéfinitionCopier le lien

#Cas des matrices 2×2Copier le lien

Pour :

Interprétation géométrique : c'est l'aire signée du parallélogramme engendré par les vecteurs colonnes de . Par exemple : le parallélogramme de côtés et a une aire de 6.

#Cas des matrices 3×3 : règle de SarrusCopier le lien

On recopie les deux premières lignes sous la matrice : les trois diagonales descendantes comptent positivement, les trois diagonales montantes négativement. Cette règle ne se généralise pas au-delà de la dimension 3.

Exemple.

#Définition récursive (dimension n)Copier le lien

Pour de taille , le développement selon la ligne s'écrit :

où est la matrice extraite en supprimant la ligne et la colonne . Le coefficient est le cofacteur d'indice . Le signal forme un damier +, −, +, −, ... en partant de + en haut à gauche. Le développement selon une colonne est analogue : .

Stratégie. On développe selon la ligne ou la colonne comptant le plus de zéros : chaque zéro élimine un mineur à calculer.

#Propriétés fondamentalesCopier le lien

Vue comme fonction des colonnes de , l'application est caractérisée par trois propriétés.

#1. Multilinéarité alternéeCopier le lien

Linéarité par rapport à chaque colonne :

et caractère alterné : si deux colonnes sont égales, le déterminant est nul ; il suit que l'échange de deux colonnes change le signe :

Tout ce qui précède vaut aussi pour les lignes.

#2. NormalisationCopier le lien

#3. MultiplicativitéCopier le lien

Conséquences immédiates :

• inversible (appliquer det à ) ;
• ;
• pour de taille (multilinéarité appliquée aux colonnes) ;
• même si .

#Une famille libre se lit au déterminantCopier le lien

Des vecteurs de forment une base si et seulement si . En effet le déterminant est nul exactement quand l'une des colonnes est combinaison linéaire des autres (cf. système de Cramer ci-dessous).

#Calcul pratiqueCopier le lien

#Méthode du pivot (Gauss)Copier le lien

Le développement par cofacteurs coûte opérations. La méthode du pivot, en , triangularise la matrice par opérations élémentaires :

Vérification par cofacteurs (développement selon la première colonne de la matrice initiale) :

Les deux méthodes concordent : c'est le réflexe à avoir sur une copie.

#Déterminants remarquablesCopier le lien

• Triangulaire : produit des coefficients diagonaux.
• Tridiagonale : pour , le développement selon la première colonne donne la récurrence avec et .
• Blocs : pour et carrées.
• Vandermonde : . Pour : .

#ApplicationsCopier le lien

#Critère d'inversibilitéCopier le lien

Démonstration (sens direct). Si est inversible, , donc . Réciproquement, si , la formule exhibe l'inverse. ∎

#Systèmes de CramerCopier le lien

Pour un système où est inversible, formules de Cramer :

où est la matrice dont la -ème colonne est remplacée par .

Exemple. Résolvons :

Vérification : et . Les formules de Cramer servent surtout en petite dimension et en théorie ; en pratique, on résout par pivot.

#Inversion par la comatriceCopier le lien

où est la matrice des cofacteurs. L'identité matricielle (relations entre cofacteurs) démontre à la fois la formule d'inversion et le théorème d'inversibilité.

Exemple en dimension 2. Pour , et :

#Volume et orientationCopier le lien

Le déterminant d'une matrice de colonnes est le volume signé du parallélépipède engendré par ces vecteurs dans . Le signe indique l'orientation : préserve l'orientation, la renverse. C'est pourquoi la formule de changement de variables fait intervenir le jacobien : le déterminant mesure le facteur de dilatation local des volumes. Les matrices de déterminant 1 (comme les rotations) conservent les volumes : .

#Exercice type d'examenCopier le lien

Énoncé. Calculer puis déterminer si les vecteurs colonnes forment une base de .

Correction par le pivot. Soustrayons la première ligne aux trois autres (, déterminant inchangé), puis la nouvelle aux lignes 3 et 4 :

Uniquement des opérations de type 3 : , donc les quatre colonnes forment une base de .

Vérification par opérations sur les colonnes. On peut aussi triangulariser par colonnes : pour dans cet ordre transforme la matrice en , de déterminant 1, et ces opérations laissent le déterminant inchangé.

Exercice complémentaire. Montrer que pour tout , la matrice a pour déterminant 1. Indication : les opérations pour triangularisent avec des 1 sur la diagonale, comme illustré ci-dessus pour .