#Espaces euclidiensCopier le lien

Un espace euclidien est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire : une forme bilinéaire symétrique définie positive. Cette structure donne un sens aux longueurs, aux angles et à l'orthogonalité, notions géométriques qui n'existent pas dans un espace vectoriel abstrait.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Prérequis. Espaces vectoriels réels, familles libres, bases, dimension, sous-espaces supplémentaires, .

Objectifs. Vérifier qu'une forme est un produit scalaire, appliquer Cauchy-Schwarz, orthonormaliser une famille par Gram-Schmidt, projeter orthogonalement sur un sous-espace et calculer une distance.

#Produit scalaireCopier le lien

#Définition axiomatiqueCopier le lien

Soit un -espace vectoriel. Un produit scalaire sur est une application vérifiant :

1. Bilinéarité : linéarité en chaque variable, l'autre étant fixée ;
2. Symétrie : pour tous ;
3. Définie positivité : pour tout , avec égalité si et seulement si .

Un couple est alors un espace euclidien.

#Produit scalaire canoniqueCopier le lien

Dans muni de sa base canonique :

Exemples dans :

• : vecteurs orthogonaux ;
• .

#Autres produits scalairesCopier le lien

La forme canonique n'est pas la seule. Sur , l'application est un produit scalaire : bilinéarité et symétrie sont immédiates, et impose .

Sur l'espace des fonctions continues sur un segment :

La définie positivité découle de la continuité : si , alors reste strictement positive au voisinage de et . Ce produit scalaire est le point de départ de l'analyse de Fourier, où et forment une famille orthogonale.

#Norme euclidienne et Cauchy-SchwarzCopier le lien

La norme associée au produit scalaire est :

Elle vérifie la séparation (), l'homogénéité et l'inégalité triangulaire, conséquence de Cauchy-Schwarz.

#Inégalité de Cauchy-SchwarzCopier le lien

avec égalité si et seulement si et sont colinéaires.

Démonstration. Pour et , posons :

Ce trinôme du second degré en , de coefficient dominant , est positif ou nul pour tout : son discriminant réduit est donc négatif ou nul, ce qui est l'inégalité. Le cas d'égalité correspond à l'existence d'une racine double avec , soit : les vecteurs sont colinéaires. ∎

Vérification numérique dans : pour et , on a , et : l'inégalité est bien vérifiée.

#Angle entre deux vecteursCopier le lien

Pour et non nuls, Cauchy-Schwarz garantit , ce qui autorise la définition :

Identités utiles. Le développement de fournit l'identité du parallélogramme ainsi que le théorème de Pythagore : .

#OrthogonalitéCopier le lien

#DéfinitionsCopier le lien

Deux vecteurs et sont orthogonaux, noté , si .

Une famille est orthogonale si pour ; elle est orthonormée si de plus pour tout .

Pour un sous-espace de , l'orthogonal de est . C'est un sous-espace vectoriel et, en dimension finie, .

#Propriété fondamentaleCopier le lien

Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Démonstration. Supposons . Pour chaque , en prenant le produit scalaire avec :

car tous les termes croisés sont nuls. Comme , on conclut . ∎

Conséquence pratique. Dans une base orthonormée , les coordonnées se lisent directement : . C'est ce que Gram-Schmidt reconstruit dans une base quelconque.

#Procédé de Gram-SchmidtCopier le lien

Le procédé transforme toute famille libre en une famille orthonormée telle que pour chaque .

#AlgorithmeCopier le lien

#Exemple complet dans Copier le lien

Orthonormalisons la base de .

Étape 1. avec , d'où .

Étape 2. , donc :

Contrôle immédiat : . Comme :

Étape 3. et , donc coordonnée par coordonnée :

En effet pour la deuxième coordonnée et pour la troisième. Avec :

Vérification. Normes : , , . Produits croisés : , , . La famille est bien une base orthonormée de . En examen, ce triple contrôle est rapide et élimine l'erreur de calcul la plus fréquente : un signe oublié dans .

#Projection orthogonaleCopier le lien

Si est un sous-espace de dimension muni d'une base orthonormée , la projection orthogonale de sur est :

Comme , tout se décompose de façon unique en avec . En particulier .

#Le projeté est le point de F le plus procheCopier le lien

Démonstration. Soit et . Puisque , ces deux vecteurs sont orthogonaux et Pythagore donne :

avec égalité si et seulement si . ∎

#Exemple : droite des moindres carrésCopier le lien

Ajustons une droite au nuage de points en minimisant . Les valeurs ajustées décrivent le plan avec (terme constant) et (pente). Il faut projeter sur .

Base orthonormée de . , puis :

Projection. et :

On lit (première coordonnée) et : la droite de régression est .

Vérifications. Les résidus sont orthogonaux à et ( et : la somme des résidus est nulle, propriété caractéristique des moindres carrés avec constante). La somme des carrés vaut , minimale parmi toutes les droites. On retrouve la même droite avec les équations normales et , d'où , .

Cette méthode est le fondement des moindres carrés en statistiques, de la compression de données et de la décomposition QR des matrices : la -ème colonne de est précisément le produit par Gram-Schmidt appliqué aux colonnes de la matrice.

#Exercice type d'examenCopier le lien

Énoncé. Dans muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser la famille , puis calculer la distance de au plan engendré par cette famille.

Correction.

• car .
• donc , de norme :

• Projection : et :

• Distance : et .

Contrôles. ; le résidu est orthogonal à () et à () : la décomposition sur est correcte.