#DérivéesCopier le lien

La dérivée d'une fonction constitue l'un des concepts les plus féconds de l'analyse mathématique. Introduite indépendamment par Newton et Leibniz au XVIIe siècle dans le contexte de la physique et de la géométrie, la dérivation permet de quantifier la notion de taux de variation instantané. Elle transforme une question sur la vitesse d'évolution en un problème de limite parfaitement défini.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre s'appuie sur la notion de limite de fonction et la continuité du chapitre précédent, ainsi que sur les fonctions usuelles du lycée.

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• définir le nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement et l'interpréter géométriquement et physiquement ;
• appliquer les règles de dérivation ( linéarité, produit, quotient, composée ) pour dériver des fonctions composées ;
• utiliser les théorèmes de Rolle et des accroissements finis avec leurs hypothèses exactes ;
• dresser le tableau de variations d'une fonction et localiser ses extrema.

#Nombre dérivé et fonction dérivéeCopier le lien

Soit une fonction définie sur un intervalle et un point de cet intervalle. Le nombre dérivé de en , noté , mesure le taux de variation instantané de au point . Il se définit comme la limite, si elle existe, du taux d'accroissement :

Cette limite peut également s'écrire sous la forme équivalente :

Géométriquement, représente la pente de la tangente au graphe de au point d'abscisse . La droite d'équation est la meilleure approximation affine de au voisinage de : c'est la tangente au graphe de en .

Lorsque existe pour tout dans , on peut définir la fonction dérivée qui à chaque associe . Cette nouvelle fonction encode toute l'information sur les variations de . Si est elle-même dérivable, on peut considérer la dérivée seconde , puis , et ainsi de suite, définissant les dérivées successives d'ordres supérieurs.

Exemple travaillé. Dériver en tout point. Pour et :

Donc pour tout : la dérivée de est , retrouvée ici sans formule préétablie.

#Interprétation physiqueCopier le lien

L'origine physique de la dérivée éclaire son sens. Si représente la position d'un mobile à l'instant , alors est sa vitesse instantanée à cet instant. Le quotient mesure la vitesse moyenne entre les instants et . En faisant tendre vers zéro, on obtient la vitesse instantanée, c'est-à-dire la dérivée.

De même, si est la vitesse, alors est l'accélération. Cette hiérarchie de dérivées successives correspond aux grandeurs physiques fondamentales de la mécanique. Newton a construit sa théorie du mouvement sur ce socle mathématique, montrant que les lois de la nature s'expriment naturellement en termes d'équations différentielles.

#Dérivabilité et continuitéCopier le lien

Un résultat fondamental lie dérivabilité et continuité : toute fonction dérivable en un point est nécessairement continue en ce point. En effet, si est dérivable en , on peut écrire, pour :

Lorsque tend vers , le premier facteur tend vers ( par définition de la dérivée ) et le second tend vers zéro. Donc tend vers zéro, ce qui signifie exactement que est continue en .

La réciproque est fausse : la continuité n'implique pas la dérivabilité. La fonction valeur absolue est continue en mais n'y est pas dérivable car les limites à droite et à gauche du taux d'accroissement diffèrent :

Cette fonction présente un point anguleux en zéro, illustrant qu'une fonction peut être continue tout en changeant brusquement de direction.

#Règles de dérivationCopier le lien

Le calcul pratique des dérivées repose sur des règles fondamentales qui permettent de dériver des fonctions complexes à partir de fonctions plus simples.

Dérivée d'une somme et d'un produit par un scalaire. Si et sont dérivables en et , alors :

Ces propriétés montrent que la dérivation est une opération linéaire, ce qui simplifie considérablement les calculs.

Dérivée d'un produit ( règle de Leibniz ). Si et sont dérivables en , alors :

Cette règle surprend souvent au premier abord : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées, mais la somme de deux termes croisés. Un piège classique consiste à écrire , qui est fausse en général ; le contre-exemple le plus simple est , où .

Dérivée d'un quotient. Si et sont dérivables en et , alors :

L'hypothèse est indispensable : par continuité de ( dérivable donc continue ), le quotient est défini au voisinage de . Cette formule permet notamment de dériver les fonctions rationnelles et la tangente .

Dérivée d'une composée ( règle de la chaîne ). Si est dérivable en et est dérivable en , alors est dérivable en et :

Autrement dit, la dérivée d'une composée est le produit de la dérivée de la fonction extérieure ( évaluée en ) par la dérivée de la fonction intérieure. Par exemple, pour dériver , on pose et , d'où :

Exemple travaillé ( synthèse des règles ). Dériver sur . Par la règle du quotient :

On vérifie la cohérence : le dénominateur est strictement positif sur le domaine, et le signe de est celui de , qui s'annule en .

#Dérivées des fonctions usuellesCopier le lien

Voici les dérivées des fonctions élémentaires, résultats qu'il est indispensable de maîtriser :

Ces formules, combinées avec les règles précédentes, permettent de dériver pratiquement toute fonction rencontrée dans les applications. Retenez aussi la dérivée de pour : , qui se démontre en écrivant et en appliquant la règle de la chaîne.

#Théorème de Rolle et des accroissements finisCopier le lien

Théorème de Rolle. Si est continue sur , dérivable sur , et vérifie , alors il existe au moins un point où la dérivée s'annule : .

Géométriquement, entre deux points d'ordonnées égales, il existe au moins un point où la tangente est horizontale. Les trois hypothèses sont nécessaires : la fonction sur vérifie et la continuité, mais n'est pas dérivable en , et sa dérivée ne s'annule nulle part où elle existe.

Théorème des accroissements finis ( TAF ). Si est continue sur et dérivable sur , alors il existe tel que :

Autrement dit, il existe un point où le taux de variation instantané ( la dérivée ) coïncide avec le taux de variation moyen sur l'intervalle. Le TAF se déduit du théorème de Rolle en l'appliquant à , qui vérifie .

Inégalité des accroissements finis. Si est dérivable et vérifie sur , alors . Cette inégalité est l'outil standard pour majorer des écarts, par exemple pour prouver pour en appliquant le TAF à sur .

#Étude des variationsCopier le lien

La dérivée est l'outil principal pour étudier les variations d'une fonction. Si sur un intervalle, alors est strictement croissante sur cet intervalle. Si , alors est strictement décroissante. Les points où s'annule en changeant de signe sont des extrema locaux.

Conditions du second ordre. Si et , alors admet un minimum local en . Si et , alors admet un maximum local en . Attention au cas , qui est indéterminé : a une dérivée seconde nulle en sans extremum, tandis que y a un minimum.

L'étude des points d'inflexion s'effectue via les dérivées secondes. Un point où change de signe est un point d'inflexion, caractérisé par un changement de concavité du graphe. Par exemple, la fonction admet un point d'inflexion en car change de signe en ce point.

Exemple travaillé ( étude complète ). Étudions sur . On calcule et .

• Sur , : croît de à .
• Sur , : décroît de à .
• Sur , : croît de à .

Maximum local en ( ), minimum local en ( ). Sur le segment fermé , les extrema globaux sont atteints aux points critiques ou aux bornes : maximum global ( atteint en et ), minimum global ( atteint en et ).

#Caractérisation de la monotonie et prolongement de la dérivéeCopier le lien

Théorème (dérivée et monotonie). Soit dérivable sur un intervalle non réduit à un point. Alors :

• est croissante sur si et seulement si pour tout ;
• est décroissante sur si et seulement si pour tout ;
• si pour tout , alors est strictement croissante (et symétriquement pour ).

Démonstration du sens « ⟹ croissante ». Soient dans . Par le théorème des accroissements finis appliqué sur , il existe tel que . Comme et , on a . ∎

Pourquoi l'hypothèse « intervalle » est cruciale. Le théorème tombe en défaut sur une réunion d'intervalles. La fonction a une dérivée nulle sur sans être constante : elle vaut à gauche et à droite. Le domaine doit être connexe pour que « dérivée nulle » entraîne « constante ».

Corollaire (fonctions constantes). Sur un intervalle, est constante si et seulement si . C'est ce corollaire qui sert à démontrer l'équation fonctionnelle du logarithme : la fonction a une dérivée nulle sur , donc elle est constante, et l'évaluation en donne la constante .

Théorème de prolongement de la dérivée. Soit continue sur et dérivable sur . Si admet une limite finie en , alors est dérivable à droite en et .

Démonstration. Pour petit, le TAF appliqué à sur fournit avec . Quand , on a , donc : le taux d'accroissement tend vers . ∎

L'hypothèse « limite finie » est indispensable. La fonction est continue en , dérivable sur , et quand . La limite n'est pas finie, le théorème ne s'applique pas — et effectivement n'est pas dérivable en (tangente verticale).

Exemple travaillé (fonction définie par morceaux). Soit

• Continuité en 0. À droite, donc . À gauche, donc par continuité de en . Les deux limites valent : est continue en .
• Dérivabilité à droite. Le taux vaut avec . Par croissance comparée, , donc .
• Dérivée à gauche. Pour , puisque . Donc , et . Par le théorème de prolongement, .

Les deux nombres dérivés diffèrent () : n'est pas dérivable en , tout en y étant continue. C'est l'illustration exacte du fait que la continuité n'entraîne pas la dérivabilité.

Le cas de en . La fonction n'est pas dérivable en . Le taux d'accroissement à gauche s'écrit, avec et :

Or , et en posant : , tandis que . Le dénominateur est donc équivalent à , et le taux vaut . Le taux n'admet aucune limite finie : n'est pas dérivable en . C'est cohérent avec la formule , qui tend vers quand : le graphe présente une tangente verticale.

#Erreurs courantesCopier le lien

• Écrire ou . Les règles correctes font intervenir des termes croisés ; ces raccourcis sont faux dès qu'on les teste sur .
• Oublier d'évaluer la dérivée extérieure en . La chaîne donne , pas .
• Appliquer Rolle ou le TAF sans les hypothèses. Continuité sur le segment fermé et dérivabilité sur l'intervalle ouvert sont toutes deux requises ; un point anguleux suffit à faire échouer la conclusion.
• Conclure « donc extremum ». a une dérivée nulle en sans extremum : il faut le changement de signe de ou la condition .
• Confondre extremum local et global sur un segment. Sur un segment fermé, les candidats sont les points critiques et les bornes ; tous doivent être comparés.

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( calcul de dérivées ). Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur leur domaine :

a) b) c) d)

Vérification : a) ( chaîne ). b) ( quotient ). c) sur les intervalles où . d) ( produit + chaîne ).

Exercice 2 ( équation de tangente ). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse .

Vérification : , donc et ; la tangente est .

Exercice 3 ( extrema ). Déterminer les extrema locaux et globaux de sur .

Vérification : reprendre l'exemple travaillé de ce chapitre : maximum global en et , minimum global en et .

Exercice 4 ( Rolle et unicité ). Montrer que l'équation admet exactement une solution réelle.

Vérification : est solution ( existence ). Pour l'unicité, supposer deux solutions distinctes et appliquer le théorème de Rolle à sur : il existerait avec , donc . Or ne s'annule qu'en , où est minimale : si avec , c'est contradictoire avec le minimum strict atteint une seule fois ; on conclut .

Exercice 5 ( inégalité par le TAF ). En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout :

Vérification : appliquer le TAF à sur : il existe tel que ; comme , on a , d'où l'encadrement en multipliant par .

La maîtrise du calcul différentiel ouvre la voie vers des applications variées, de l'optimisation aux équations différentielles en physique, en passant par l'économie et les sciences sociales. C'est la pierre angulaire de toute l'analyse appliquée.