#Limites et continuitéCopier le lien

Après avoir étudié les suites, nous généralisons le concept de limite aux fonctions réelles. Cette extension apporte une richesse nouvelle : une fonction possède un domaine défini sur un intervalle, contrairement aux suites qui ne sont définies que sur les entiers naturels. La notion de limite de fonction permet de comprendre le comportement d'une fonction au voisinage d'un point, même si elle n'est pas définie en ce point.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre s'appuie sur la notion de limite de suite et les fonctions usuelles du lycée ( polynômes, rationnelles, exponentielle, logarithme, trigonométrie ).

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• énoncer la définition quantifiée d'une limite de fonction et distinguer limite à gauche et limite à droite ;
• calculer des limites à l'aide des théorèmes opératoires et de la composition ;
• caractériser la continuité en un point et identifier les prolongements par continuité ;
• appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et la bijection continue pour localiser des solutions d'équations.

#Limite d'une fonction en un pointCopier le lien

Soit une fonction définie sur un intervalle privé éventuellement d'un point . On dit que admet pour limite en si les valeurs peuvent être rendues arbitrairement proches de en choisissant suffisamment proche de ( mais distinct de ).

La définition formelle, due à Weierstrass, s'énonce ainsi : si et seulement si

Cette définition établit un lien entre la proximité de à ( mesurée par ) et la proximité de à ( mesurée par ). Le réel joue le rôle du rayon d'un voisinage de : en prenant dans ce voisinage ( excluant lui-même ), on garantit que reste dans un voisinage de de rayon .

Exemple travaillé. Montrons que . On écrit, pour proche de :

Imposons d'abord , ce qui donne et donc . Pour un donné, le choix garantit . Cette technique de majoration intermédiaire est le schéma standard des preuves -.

On définit de même les limites aux bornes : si pour tout il existe tel que entraîne , et si pour tout il existe tel que entraîne .

#Propriétés opératoires des limitesCopier le lien

Les limites de fonctions jouissent de propriétés similaires à celles des suites. Si et , alors :

Ces propriétés permettent de construire les limites de fonctions complexes à partir de fonctions plus simples. Par exemple, tout polynôme vérifie , ce qu'on démontre par récurrence sur le degré à partir des monômes. Les formes indéterminées classiques ( , , , ) se lèvent par factorisation, quantité conjuguée ou limites usuelles.

Le théorème de composition des limites mérite une mention spéciale. Si et , et si au voisinage de ou si est continue en , alors . Ce théorème justifie le changement de variable dans le calcul de limites ; l'hypothèse supplémentaire est indispensable en général.

Limites usuelles à connaître. Pour : , , , . En , la croissance comparée donne et pour tout entier : l'exponentielle domine les puissances, qui dominent le logarithme.

#Continuité d'une fonctionCopier le lien

Une fonction est continue en un point de son domaine si elle y admet une limite égale à sa valeur en ce point :

Cette égalité condense trois conditions : doit être définie en , admettre une limite finie en , et cette limite doit coïncider avec . Concrètement, une discontinuité en un point est de l'un des trois types suivants :

• la fonction n'est pas définie en ( comme en ) ;
• la limite n'existe pas, notamment quand les limites à gauche et à droite diffèrent ( saut, comme la fonction partie entière en un entier ) ;
• la limite existe mais diffère de ( discontinuité ponctuelle, facile à corriger en redéfinissant ).

Un cas important est le prolongement par continuité : si est définie sur un voisinage de privé de et si existe et est finie, alors poser étend en une fonction continue en . Par exemple, se prolonge par continuité en avec , et avec .

La continuité d'une fonction sur un intervalle signifie qu'elle est continue en tous les points de cet intervalle. Les fonctions usuelles ( polynômes, fonctions rationnelles, exponentielles, logarithmes, trigonométriques ) sont toutes continues sur leur domaine de définition. La somme, le produit, le quotient ( quand le dénominateur ne s'annule pas ) et la composition de fonctions continues sont continus : cette stabilité permet de construire une vaste famille de fonctions continues.

#Théorème des valeurs intermédiairesCopier le lien

L'un des résultats les plus utiles sur les fonctions continues est le théorème des valeurs intermédiaires ( TVI ).

Théorème ( TVI ). Si est continue sur un intervalle et si est un réel compris entre et , alors il existe au moins un point tel que .

Géométriquement, le graphe d'une fonction continue ne peut passer de à sans traverser toutes les valeurs intermédiaires. Le corollaire le plus utilisé concerne les racines : si est continue sur et si et sont de signes opposés, alors l'équation admet au moins une solution dans .

Cette propriété, apparemment évidente, repose sur la complétude de . Elle est fausse pour les fonctions définies sur seulement : considérer sur ; la fonction y est « continue », change de signe, et pourtant ne s'annule jamais puisque est irrationnel.

Exemple travaillé. Montrons que l'équation admet une solution dans . La fonction est polynomiale donc continue. Or et : le TVI garantit une racine . Pour la localiser à près par dichotomie : donc ; puis donc , et ainsi de suite ; l'intervalle de largeur initial atteint une largeur inférieure à en 7 étapes ( car ), donnant .

Application classique ( point fixe ). Toute fonction continue de dans admet au moins un point fixe : appliquer le TVI à , qui vérifie et .

Le TVI est un outil d'existence : il garantit qu'une solution existe, sans la localiser. La dichotomie transforme cette existence en méthode de calcul effective, en produisant deux suites adjacentes qui encadrent la solution.

#Fonctions monotones et bijections continuesCopier le lien

Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle réalise une bijection entre cet intervalle et son image. De plus, sa bijection réciproque est elle aussi continue et strictement monotone ( dans le même sens ).

Ce résultat garantit par exemple que l'exponentielle, continue et strictement croissante de sur , admet une réciproque continue et strictement croissante : le logarithme népérien. De même, la fonction restreinte à admet pour réciproque la racine carrée, et les fonctions trigonométriques convenablement restreintes ( sinus sur , tangente sur ) admettent des réciproques continues.

La stricte monotonie ajoute au TVI l'unicité de la solution : si est continue et strictement monotone sur , et si est compris entre et , alors l'équation admet une unique solution dans . Ce théorème de la bijection est la version la plus utile en exercice : existence par le TVI, unicité par la stricte monotonie.

#Caractérisation séquentielle de la limiteCopier le lien

La définition quantifiée est le fondement, mais elle est pénible à manipuler. Le critère séquentiel fournit un pont entre les limites de fonctions et celles de suites, et il hérite gratuitement de tous les théorèmes sur les suites.

Théorème. Soient , adhérent à , et . Alors

Esquisse. Dans le sens direct, on combine le fourni par la limite de avec le rang fourni par la convergence de . Dans le sens réciproque, on raisonne par contraposée : si la limite n'est pas , il existe tel que pour tout on trouve avec et ; en prenant on construit une suite qui contredit l'hypothèse.

Usage principal : prouver une absence de limite. Il suffit de trouver deux suites et tendant vers telles que et aient des limites différentes.

Exemple. La fonction n'a pas de limite en : avec on a , et avec on a . Les deux suites tendent vers et les images ont des limites distinctes.

Application type aux exercices. Pour , les suites et donnent et : pas de limite en . La méthode est toujours la même : identifier où le facteur oscillant s'annule, et y placer une sous-suite.

Théorème de composition. Si et , alors — à condition que , l'ensemble de définition de . Sans cette hypothèse, le théorème est faux.

Le contre-exemple à connaître. Soit sur et si , sinon. Alors et , mais pour tout , donc . L'hypothèse est violée : prend la valeur , où est discontinue. C'est le rappel que la limite de en ne dit rien sur la valeur .

#Limites des fonctions monotonesCopier le lien

Une fonction monotone sur un intervalle n'a pas de limite partout, mais elle en a toujours aux bornes de son intervalle de définition — et ces limites sont des bornes supérieure et inférieure.

Théorème. Soient dans et une application croissante. Alors admet une limite à droite en et une limite à gauche en , notées respectivement et , avec

et en fait et . Pour une application décroissante, les inégalités sont renversées.

Conséquence : les limites de . La fonction est croissante sur . Le théorème garantit l'existence de et , avec et . En utilisant et la croissance, on obtient pour tout ; comme est arbitrairement grand et arbitrairement petit (négatif), on conclut et . C'est l'argument attendu dans les exercices de cours.

Un critère d'existence très utile. Une fonction monotone n'a, en un point intérieur, que des discontinuités de saut : les limites à gauche et à droite existent toujours, et la fonction est continue en si et seulement si elles coïncident. C'est pourquoi une fonction monotone ne peut pas avoir de discontinuité oscillante.

#Continuité uniformeCopier le lien

Une notion plus forte que la continuité est la continuité uniforme. Une fonction est uniformément continue sur un ensemble si :

La différence avec la continuité simple est subtile mais importante : le ne dépend que de , et non du point considéré. La continuité simple sur donne un qui peut varier avec le point ; l'uniformité exige un unique pour tout le domaine. Toute fonction uniformément continue est continue, mais la réciproque est fausse en général : est continue sur mais pas uniformément continue, car dépasse toute borne fixée à donné dès que est assez grand.

Théorème de Heine. Toute fonction continue sur un segment est uniformément continue sur ce segment.

La clôture et la bornitude du segment sont essentiels : le résultat tombe en défaut sur des intervalles ouverts ou non bornés. Cette propriété s'avère cruciale dans de nombreuses démonstrations, notamment la construction de l'intégrale de Riemann, où il faut contrôler les oscillations de la fonction sur tout un découpage simultanément.

#Erreurs courantesCopier le lien

• Confondre limite et valeur. alors que l'expression n'est pas définie en : la limite ne dépend pas de la valeur au point.
• Oublier de vérifier les limites latérales. Pour la continuité en , les limites à gauche et à droite doivent exister, être finies, égales entre elles et à .
• Appliquer le TVI sans hypothèse de continuité. Le TVI exige la continuité sur le segment fermé ; une fonction discontinue entre et peut sauter par-dessus zéro.
• Croire que le TVI donne l'unicité. Il garantit l'existence d'une solution ; l'unicité exige la stricte monotonie.
• Nier la réciproque « continue donc dérivable ». ( Chapitre suivant. ) La continuité n'entraîne pas la dérivabilité : est continue en sans y être dérivable.

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( calcul de limites ). Calculer :

a) b) c) d)

Vérification : a) factoriser le numérateur, limite . b) écrire , limite . c) factoriser , limite . d) poser avec : par croissance comparée.

Exercice 2 ( prolongement par continuité ). Soit définie sur . Montrer que se prolonge par continuité en et déterminer la valeur du prolongement.

Vérification : la limite usuelle donne .

Exercice 3 ( TVI et dichotomie ). Montrer que l'équation admet au moins une solution dans , puis la localiser à près par dichotomie.

Vérification : suivre l'exemple travaillé de ce chapitre ; après 7 itérations d'amplitude , on obtient l'encadrement , qui contient la racine .

Exercice 4 ( preuve ε-δ ). Montrer avec la définition que .

Vérification : dès que ; prendre .

Exercice 5 ( bijection ). Montrer que l'équation admet une unique solution réelle, puis en donner un encadrement d'amplitude .

Vérification : est strictement croissante ( somme de fonctions strictement croissantes ), avec et : existence par le TVI, unicité par stricte croissance ; et , donc la solution est dans .

L'étude de la continuité révèle la richesse des fonctions réelles et prépare le terrain pour la dérivation, qui raffine encore notre compréhension du comportement local des fonctions.