#Suites numériquesCopier le lien

Une suite numérique est l'un des objets les plus fondamentaux de l'analyse mathématique. Sa définition est simple : une séquence infinie de nombres réels. Pourtant, l'étude de son comportement asymptotique révèle des phénomènes d'une grande richesse. Les suites constituent le pont entre l'arithmétique discrète et l'analyse continue, et leur maîtrise est indispensable pour aborder les séries, les intégrales ou les équations différentielles.

#Prérequis et objectifsCopier le lien

Ce chapitre suppose connus les ensembles de nombres (, , , ), le raisonnement par récurrence et la manipulation d'inégalités.

À l'issue de ce chapitre, vous saurez :

• énoncer la définition quantifiée de la convergence et l'utiliser pour prouver une limite ;
• calculer des limites à l'aide des théorèmes opératoires et du théorème des gendarmes ;
• montrer la convergence d'une suite monotone bornée ou de suites adjacentes ;
• reconnaître et prouver les principales situations de divergence.

#Définition et premières notionsCopier le lien

Formellement, une suite réelle est une application de l'ensemble des entiers naturels vers l'ensemble des nombres réels . On la note généralement ou plus simplement lorsque le contexte est clair. Le terme représente l'image de l'entier par cette application, c'est-à-dire le -ième élément de la suite.

Cette définition formelle correspond à notre intuition : une suite est une liste infinie de nombres ordonnés. Par exemple, la suite définie par donne successivement les valeurs . Plus on avance dans les indices, plus les termes deviennent petits. Cette observation intuitive trouve sa formalisation dans le concept de limite.

Il existe plusieurs façons de définir une suite. La définition explicite exprime directement en fonction de , comme dans l'exemple précédent. La définition par récurrence exprime chaque terme en fonction des précédents. Par exemple, la suite de Fibonacci est définie par , , et pour tout . Cette définition récursive génère la séquence .

#Convergence et limiteCopier le lien

Le concept de limite est au cœur de l'analyse. Intuitivement, on dit qu'une suite converge vers un réel si les termes de la suite se rapprochent indéfiniment de lorsque devient arbitrairement grand. La définition de Weierstrass transforme cette intuition en énoncé rigoureux.

Définition (convergence). Une suite converge vers si :

On note alors . Le quantificateur universel sur signifie que quelle que soit la précision exigée, on peut toujours trouver un rang à partir duquel la suite reste dans cette marge d'erreur autour de . L'ordre des quantificateurs est essentiel : peut dépendre de ( et en dépend en général ).

Exemple travaillé. Montrons avec la définition que la suite converge vers . Soit . Nous cherchons tel que pour tout , on ait , c'est-à-dire . Il suffit de choisir . Alors, pour tout , on a , donc . La suite converge bien vers .

Une suite qui ne converge pas dans est dite divergente. La divergence peut prendre plusieurs formes : la suite peut tendre vers l'infini ( comme ), osciller indéfiniment ( comme ), ou avoir un comportement plus chaotique encore.

#Théorèmes fondamentauxCopier le lien

Plusieurs théorèmes essentiels régissent le comportement des suites convergentes. Le premier est le théorème d'unicité de la limite : si une suite converge, sa limite est unique. Sa démonstration repose sur l'inégalité triangulaire. Ce résultat garantit qu'on peut parler de LA limite d'une suite sans ambiguïté.

Théorème des gendarmes ( encadrement ). Si deux suites et convergent toutes deux vers la même limite , et si une troisième suite vérifie pour tout assez grand, alors converge également vers .

Visualisez une suite « prise en sandwich » entre deux autres qui convergent vers le même point : elle n'a d'autre choix que de converger elle aussi vers ce point. Conséquence immédiate : si avec , alors ; c'est ainsi qu'on montre .

Les théorèmes opératoires permettent de construire de nouvelles suites convergentes à partir de suites connues. Si converge vers et converge vers , alors :

Ces propriétés algébriques simplifient considérablement le calcul de limites. Par exemple, pour trouver la limite de , on factorise par au numérateur et au dénominateur :

Comme et que le dénominateur tend vers , les théorèmes opératoires donnent . La forme indéterminée initiale est levée par la factorisation par le terme dominant.

#Suites monotones et théorème de convergence monotoneCopier le lien

Une suite est dite croissante si pour tout , et strictement croissante si l'inégalité est stricte. De manière symétrique, on définit les suites décroissantes et strictement décroissantes. Une suite croissante ou décroissante est qualifiée de monotone.

La monotonie joue un rôle crucial car elle interagit remarquablement bien avec la notion de borne. Une suite est majorée s'il existe un réel tel que pour tout . De même, elle est minorée s'il existe tel que pour tout . Une suite à la fois majorée et minorée est dite bornée.

Théorème ( convergence monotone ). Toute suite croissante et majorée converge ; sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs. Symétriquement, toute suite décroissante et minorée converge vers sa borne inférieure.

Ce théorème est d'une importance capitale : il garantit l'existence de la limite sans nécessiter de la calculer explicitement. Il suffit de prouver la croissance et l'existence d'un majorant.

Exemple travaillé. Considérons la suite définie par et .

1. Majoration : montrons par récurrence que pour tout . Initialisation : . Hérédité : si , alors .
2. Croissance : puisque et . Donc .
3. Conclusion : la suite est croissante et majorée, donc converge vers une limite . La fonction étant continue, le passage à la limite dans la récurrence donne , donc , d'où ou . Comme , on conclut .

#Suites adjacentesCopier le lien

Deux suites et sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et leur différence tend vers zéro : croissante, décroissante, et .

Théorème des suites adjacentes. Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite.

Ce résultat permet de construire des approximations de nombres réels par encadrement. Par exemple, l'algorithme de dichotomie pour calculer une racine d'une fonction continue produit deux suites adjacentes qui encadrent cette racine avec une précision arbitraire : à chaque étape, l'amplitude de l'intervalle est divisée par deux. Après étapes à partir d'un intervalle de largeur , la précision est .

L'existence de la limite commune illustre la complétude de : contrairement aux rationnels où des trous subsistent, les nombres réels bouchent tous les trous. Dans , deux suites adjacentes d'éléments de peuvent converger dans vers un irrationnel, donc vers aucun point de .

#Sous-suites et théorème de Bolzano-WeierstrassCopier le lien

Une sous-suite (ou suite extraite) de est une suite de la forme , où est strictement croissante. Intuitivement, on parcourt la suite en sélectionnant certains termes et en oubliant les autres.

L'ordre d'apparition doit être respecté : est une sous-suite, mais n'en est pas une, faute de stricte croissance de .

Propriété fondamentale. Si , alors toute sous-suite converge aussi vers .

Preuve. Comme est strictement croissante à valeurs entières, une récurrence immédiate donne . Soit ; l'hypothèse fournit tel que pour tout . Pour , on a , donc . ∎

On l'utilise presque toujours par contraposée. Pour prouver qu'une suite ne converge pas, il suffit d'exhiber deux sous-suites de limites distinctes — c'est de loin la méthode la plus économique, et elle évite toute manipulation de .

Exemple. La suite ne converge pas : les sous-suites et sont constantes de valeurs différentes. De même, est périodique de période 5, donc et donnent deux limites distinctes.

Théorème de Bolzano-Weierstrass. Toute suite bornée admet une sous-suite convergente.

Idée de la preuve. On construit par dichotomie une suite de segments emboîtés , chacun contenant une infinité de termes de la suite, et dont les longueurs sont divisées par deux à chaque étape. La suite est croissante, décroissante, et : ce sont des suites adjacentes, de limite commune . En choisissant strictement croissante avec , le théorème des gendarmes donne . ∎

Ce que le théorème ne dit pas. Il n'y a aucune unicité : ni sur la limite, ni sur la sous-suite extraite. Une suite bornée peut avoir plusieurs sous-suites convergentes vers des limites différentes (c'est exactement le cas de ).

Bornes supérieure et inférieure comme limites. Un lien utile entre les chapitres : si et seulement si est un majorant de et qu'il existe une suite d'éléments de telle que . C'est ce critère qui sert dans tous les exercices de calcul de borne : on exhibe un minorant, puis une suite qui converge vers lui.

#Critères de divergenceCopier le lien

Identifier la divergence d'une suite est tout aussi important que prouver sa convergence.

Toute suite convergente est bornée. Si une suite converge vers , alors pour , tous les termes à partir d'un certain rang sont dans l'intervalle ; les termes restants, en nombre fini, admettent un maximum et un minimum. Conséquence par contraposée : toute suite non bornée diverge.

Pour les suites qui tendent vers l'infini, on dispose d'une définition analogue à celle de la convergence. On dit que si pour tout réel , il existe un rang tel que pour tout . Intuitivement, les termes de la suite deviennent arbitrairement grands. Une suite qui tend vers est divergente : n'est pas un réel.

Les comparaisons de suites fournissent également des critères utiles. Si à partir d'un certain rang et si tend vers , alors tend aussi vers . Ce principe de comparaison s'avère particulièrement efficace pour étudier les suites définies par des formules complexes, par exemple en minorant une fraction rationnelle par son terme dominant.

#Erreurs courantesCopier le lien

• Inverser les quantificateurs. Écrire au lieu de : le rang doit s'adapter à chaque précision, et non l'inverse.
• Croire qu'une suite monotone converge toujours. est croissante mais diverge ; il faut la majoration. De même est croissante et bornée : elle converge, mais vers , jamais atteint.
• Passer à la limite sans précaution dans une récurrence. L'étape « donne » exige la continuité de au point .
• Appliquer les théorèmes opératoires à des formes indéterminées. exige ; les formes , ou demandent une factorisation préalable.
• Conclure « adjacentes donc décroissantes vers des limites distinctes ». La limite commune est unique : c'est tout l'intérêt du théorème, et l'ordre vaut pour tout .

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 ( définition de la limite ). Montrer avec les quantificateurs que la suite converge vers .

Vérification : pour , ; il suffit de prendre .

Exercice 2 ( théorème des gendarmes ). Montrer que converge vers .

Vérification : encadrer par et appliquer le théorème des gendarmes.

Exercice 3 ( suite récurrente ). Soit et .

a) Montrer que pour tout , . b) Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1. c) En déduire la convergence et calculer la limite.

Vérification : pour a), utiliser . Pour b), . Pour c), la limite vérifie , donc et ( la limite est positive ).

Exercice 4 ( suites adjacentes ). On définit , , et pour tout :

Montrer que ces suites sont adjacentes et déterminer leur limite commune.

Vérification : vérifier que , donc ; les suites sont bien adjacentes de limite commune . En sommant les deux relations de récurrence, la suite est constante égale à , donc et .

L'étude des suites numériques constitue le socle sur lequel repose toute l'analyse mathématique. La rigueur acquise dans la manipulation des définitions, la maîtrise des démonstrations et l'intuition développée lors de l'étude des exemples seront des atouts précieux pour aborder les chapitres suivants sur les fonctions continues et dérivables.