#RessourcesCopier le lien

Cette page regroupe des exercices corrigés, une bibliographie commentée et des ressources en ligne pour approfondir le module d'introduction à l'analyse. Chaque exercice renvoie au chapitre concerné ; cherchez l'exercice par vous-même avant de lire les éléments de correction.

#Exercices corrigésCopier le lien

#Suites numériquesCopier le lien

Exercice 1 ( calcul de limites ). Calculer les limites suivantes :

a)
b)
c)

Éléments de correction : a) factoriser par : limite . b) factoriser par : limite . c) multiplier par la quantité conjuguée : .

Exercice 2 ( définition de la limite ). Montrer, en utilisant exclusivement la définition avec et , que la suite converge vers .

Éléments de correction : pour , ; il suffit de choisir .

Exercice 3 ( théorème des gendarmes ). Montrer que la suite converge et préciser sa limite.

Éléments de correction : encoder par ; les deux suites encadrantes tendent vers , donc .

Exercice 4 ( suite récurrente ). Soit et pour tout .

a) Montrer que pour tout .
b) Montrer que la suite est décroissante.
c) En déduire la convergence et calculer la limite.

Éléments de correction : a) récurrence avec l'inégalité arithmético-géométrique ( valable pour ). b) car . c) décroissante et minorée par : elle converge vers vérifiant , soit , d'où .

Exercice 5 ( suites adjacentes ). On définit , et, pour tout :

Montrer que les suites et sont adjacentes et déterminer leur limite commune.

Éléments de correction : donc ; de plus et : les suites sont adjacentes. Enfin pour tout , donc la limite commune vérifie , soit .

#Limites et continuitéCopier le lien

Exercice 6 ( calcul de limites de fonctions ). Calculer :

a)
b)
c)
d)

Éléments de correction : a) factoriser par : limite . b) écrire : limite . c) factoriser par : limite . d) poser avec : par croissances comparées.

Exercice 7 ( continuité en un point ). Étudier la continuité en de la fonction :

Éléments de correction : la limite usuelle égale : est continue en .

Exercice 8 ( TVI et dichotomie ). Montrer que l'équation admet au moins une solution dans , puis la localiser à près par dichotomie.

Éléments de correction : la fonction est continue, et : le TVI garantit une racine. En partant de , chaque dichotomie divise la largeur par deux ; après étapes l'intervalle a une largeur inférieure à et contient la racine, qui vaut environ .

Exercice 9 ( prolongement par continuité ). Soit définie sur . Montrer que se prolonge par continuité en et donner la valeur du prolongement.

Éléments de correction : la limite usuelle existe : le prolongement rend la fonction continue sur .

#DérivéesCopier le lien

Exercice 10 ( calcul de dérivées ). Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur leur domaine :

a)
b)
c)
d)

Éléments de correction : a) . b) . c) sur les intervalles où . d) .

Exercice 11 ( tangente ). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse .

Éléments de correction : , donc et ; la tangente est .

Exercice 12 ( extrema ). Déterminer les extrema locaux et globaux de sur .

Éléments de correction : ; maximum local en , minimum local en . En comparant avec les bornes et : maximum global ( atteint en et ), minimum global ( atteint en et ).

Exercice 13 ( Rolle et unicité ). Montrer que l'équation admet exactement une solution réelle.

Éléments de correction : est solution ( existence ). S'il existait deux solutions distinctes , le théorème de Rolle appliqué à sur donnerait avec , donc ; or atteint son minimum en avec , et ailleurs : contradiction avec pour .

Exercice 14 ( inégalité par le TAF ). En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que pour tout :

Éléments de correction : appliquer le TAF à sur : il existe tel que ; comme , on a , d'où l'encadrement en multipliant par .

#BibliographieCopier le lien

#Ouvrages de référenceCopier le lien

• Mathématiques : tout-en-un pour la licence, Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Dunod. Couvre tout le programme de L1-L2 avec de nombreux exercices corrigés ; la référence la plus proche du présent module.
• Analyse, Jean-Marie Monier, Dunod. Cours clair et progressif, avec des fiches de méthodes par type de problème.
• Cours de mathématiques : algèbre et analyse, Jean-Marie Arnaudiès et Henri Fraysse, Dunod. Un cours plus dense, utile pour approfondir les démonstrations.
• Principles of Mathematical Analysis, Walter Rudin, McGraw-Hill. La référence anglo-saxonne, très concise et rigoureuse, pour les étudiants ambitieux.
• Understanding Analysis, Stephen Abbott, Springer. Allie rigueur et intuition, avec des commentaires pédagogiques remarquables.

#Ressources en ligneCopier le lien

• Exo7 : la banque d'exercices corrigés de l'université, classée par chapitre. Commencez par les feuilles « suites numériques » et « limites et continuité ».
• 3Blue1Brown, Essence of Calculus : une série de vidéos qui donnent l'intuition géométrique du calcul différentiel.
• Khan Academy, Calculus : exercices interactifs et rappels de cours sur les concepts fondamentaux.
• MIT OpenCourseWare, Single Variable Calculus : le cours complet du MIT avec vidéos, notes et problèmes.
• Les-Mathematiques.net : un forum actif pour poser vos questions et lire les discussions des autres étudiants.

#Conseils de travailCopier le lien

Comprendre avant d'appliquer. Ne mémorisez pas les théorèmes sans les comprendre : chaque définition a un sens précis, chaque hypothèse de théorème sert quelque part. Testez toujours ce qui se passe quand on retire une hypothèse.

Refaire les démonstrations. Les démonstrations enseignent des techniques réutilisables : factorisation par le terme dominant, quantificateurs, passage par la quantité conjuguée. Refaites-les sans le texte sous les yeux, puis vérifiez chaque étape.

Varier les exercices. Alternez application directe des définitions, calculs de limites et petits problèmes théoriques. Un sujet d'examen mélange systématiquement ces trois registres.

Vérifier vos résultats. Une limite de suite se teste sur des valeurs numériques de ; un tableau de variations se confronte à quelques valeurs calculées de la fonction. Prenez cette habitude dès maintenant.

Travailler en groupe. Expliquer la définition de la limite à un autre étudiant est le meilleur test de votre propre compréhension.

Être patient. Les définitions quantifiées résistent souvent plusieurs semaines avant de devenir naturelles. La régularité l'emporte toujours sur l'intensité ponctuelle.

#Pour continuerCopier le lien

Ce module prépare directement les chapitres suivants du cursus : l'intégration qui mesure les aires sous les courbes continues, les séries qui somment des suites, et l'algèbre linéaire qui change complètement de paradigme en étudiant les espaces vectoriels. Les définitions en apprises ici seront réutilisées sans relâche.