#Simulation Monte CarloCopier le lien

La simulation Monte Carlo approxime une quantité déterministe (probabilité, espérance, intégrale) par la moyenne empirique de tirages aléatoires. Quand un calcul exact est impossible ou long à établir, simuler donne une estimation accompagnée de son erreur. La méthode remplace la résolution formelle par la répétition, et fournit un instrument de vérification universel: toute formule peut être confrontée à un simulateur.

Objectifs d’apprentissage

• Estimer une probabilité par une fréquence simulée et une espérance par une moyenne simulée, avec graine fixée.
• Quantifier l’erreur d’estimation par l’erreur standard et un intervalle de confiance, et relier sa décroissance en 1/√n au théorème central limite.
• Valider un simulateur sur un cas où la valeur exacte est connue avant de l’appliquer au cas inconnu.

Prérequis: variables aléatoires (espérance, variance, TCL), bases de Python (random).

#Principe et cadre d’emploiCopier le lien

Soit une quantité d’intérêt θ = E[g(X)] pour X de loi connue (le cas « probabilité d’un événement A » correspond à g = indicatrice de A). La méthode:

1. Modéliser: identifier la loi de X et la fonction g. Toute l’exactitude de la méthode réside ici.
2. Simuler: générer X₁, …, Xₙ selon cette loi, indépendamment.
3. Estimer: la moyenne empirique ĝₙ = (1/n) Σ g(Xᵢ) converge vers θ par la loi des grands nombres.
4. Quantifier: l’erreur-type de l’estimation vaut σ̂/√n où σ̂ est l’écart-type empirique des g(Xᵢ); un intervalle approximatif à 95% est ĝₙ ± 1,96·σ̂/√n, justifié par le TCL.

Hypothèses: les tirages sont indépendants et suivent exactement la loi visée. La première dépend du générateur pseudo-aléatoire, la seconde de votre implémentation. Un biais de modélisation (mauvaise loi, dépendance cachée) n’est pas corrigé en augmentant n: plus n grandit, plus l’estimation converge vers la mauvaise valeur, avec une confiance croissante.

#Exemple 1: estimer πCopier le lien

On tire n points uniformément dans le carré [0,1]² et on compte ceux qui tombent dans le disque inscrit (centre (0,5; 0,5), rayon 0,5). La probabilité de tomber dans le disque vaut le rapport des aires, (π·0,5²)/1 = π/4: d’où l’estimateur π̂ = 4·k/n où k est le nombre de points dans le disque.

Avec la graine 42: π ≈ 3,2000 (n = 100), 3,1800 (n = 1000), 3,1392 (n = 10⁴), 3,1403 (n = 10⁵); erreurs 0,058, 0,038, 0,0024, 0,0013. Diviser l’erreur par 10 exige environ 100 fois plus de tirages.

#Exemple 2: espérance et erreur standardCopier le lien

Estimons E[X²] pour X normale centrée réduite: valeur exacte 1. La simulation fournit l’estimation, l’erreur-type, et un intervalle qui doit couvrir la vraie valeur environ 95 fois sur 100 si on répète l’expérience.

Avec la graine 42 et n = 10 000: estimation 0,9992, erreur-type 0,0140, IC [0,9717; 1,0268], qui couvre bien 1. Notez que g(X) = X² est très asymétrique (loi du χ² à 1 degré de liberté): le TCL s’applique à la moyenne, pas à g(X) elle-même, et c’est suffisant.

#Exemple 3: processus, avec validation par calcul exactCopier le lien

Une marche aléatoire part de 0 et fait des pas ±1 équiprobables. Quelle est la probabilité de repasser par 0 au moins une fois en n pas? Ici le calcul exact est facile (programme de propagation de loi ci-dessous), ce qui permet de valider le simulateur avant de l’utiliser sur des variantes sans formule.

Avec 2 000 simulations (graine 1): 0,758 contre exact 0,754 (10 pas), 0,889/0,888 (50), 0,924/0,920 (100), 0,971/0,964 (500). L’écart de simulation décroît en 1/√2000 ≈ 0,022: c’est exactement l’ordre de grandeur observé. La probabilité de retour tend vers 1: la marche est récurrente en dimension 1 (elle revient presque sûrement), mais le temps moyen du premier retour est infini.

#Bonnes pratiquesCopier le lien

Reproductibilité: fixez la graine (random.seed) en tête de script. Sans elle, aucun chiffre n’est vérifiable par un tiers, ni par vous deux semaines plus tard.

Budget de calcul: déboguez avec n petit (1 000) où tout va vite, produisez le chiffre final avec n grand. L’erreur-type affichée dit quand vous êtes assez précis.

Validation systématique: avant de faire confiance à un simulateur sur le cas inconnu, exécutez-le sur un cas où la réponse exacte est connue (valeur fermée, petite variante calculable par énumération exhaustive). L’exemple 3 montre le motif: simulateur et calcul exact côte à côte.

Réduction de variance: plutôt que de multiplier n par 100, divisez σ. Échantillonnage préférentiel (tirer où g contribue le plus, en corrigeant par le rapport de vraisemblance), variables antithétiques (appairer u et 1−u pour annuler une partie des fluctuations), stratification (répartir les tirages dans des strates disjointes). Diviser σ par 2 vaut mieux que quadrupler n: même gain d’erreur, même coût réduit.

#ApplicationsCopier le lien

Finance: valorisation d’options et mesures de risque par simulation de trajectoires. Physique et ingénierie: intégration en grande dimension, fiabilité des systèmes, tolérance dimensionnelle. Informatique: analyse d’algorithmes probabilistes, test de charge, bootstrap en statistique, méthodes MCMC pour l’échantillonnage de lois complexes. Partout, la discipline est la même: modèle explicite, graine fixée, erreur calculée.

#QuizCopier le lien

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 (intégrale par Monte Carlo). Estimez l’intégrale de e^(−x²) sur [0,1] par Monte Carlo avec n = 100 000 et graine 42. Comparez à la valeur exacte 0,7468 (soit (√π/2)·erf(1)).

Éléments de vérification. g(x) = e^(−x²) sur [0,1]: estimation ≈ 0,7469, erreur-type ≈ 0,0009 (σ de g vaut environ 0,29), intervalle [0,7451; 0,7487] qui couvre 0,7468. L’intégrale exacte s’écrit (√π/2)·erf(1) ≈ 0,74682. La méthode se généralise telle quelle aux dimensions supérieures, où elle devient la seule praticable.

Exercice 2 (probabilité d’un événement). Estimez P(U₁ + U₂ > 1,2) où U₁, U₂ sont indépendantes uniformes sur [0,1], avec n = 100 000 et graine 42, puis retrouvez le résultat par le calcul.

Corrigé. Simulation: ≈ 0,3201. Calcul exact: l’événement {u₁ + u₂ > s} est le triangle au-dessus de la droite u₂ = s − u₁ dans le carré unité. Pour 1 < s ≤ 2, ce triangle a pour côtés (2 − s), donc son aire vaut (2 − s)²/2. Avec s = 1,2: P = (0,8)²/2 = 0,32, en accord avec la simulation. Le piège est de confondre avec le cas s ≤ 1, où l’aire vaudrait 1 − s²/2: dessinez le carré et la droite avant d’intégrer.

Exercice 3 (budget de précision). Un dépistage simulé doit estimer une probabilité de l’ordre de 0,05 avec une erreur-type maximale de 0,001. Quel n minimal? Combien de temps de calcul si un tirage coûte 1 µs?

Corrigé. Pour une indicatrice de paramètre p, σ = √(p(1−p)) ≈ √(0,0475) ≈ 0,218. L’exigence σ/√n ≤ 0,001 donne n ≥ (0,218/0,001)² ≈ 47 500 tirages, arrondi à 50 000. À 1 µs le tirage: environ 0,05 s de calcul. Retenez la règle: pour estimer une petite probabilité p avec une erreur relative de r, il faut n de l’ordre de (1−p)/(p·r²): les événements rares sont chers à estimer, et c’est là que la réduction de variance paie.