#Lois usuellesCopier le lien

Quelques familles de lois couvrent l’essentiel des situations de modélisation. Chacune est la conséquence mathématique d’hypothèses précises: c’est le mécanisme qui choisit la loi, pas l’habitude. Cette section présente les lois discrètes et continues fondamentales, leurs paramètres, leurs hypothèses de validité, et les approximations qui relient l’une à l’autre.

Objectifs d’apprentissage

• Associer à chaque situation type la loi adaptée et citer l’hypothèse qui la justifie.
• Connaître espérance et variance des lois usuelles et savoir les retrouver pour les plus simples.
• Utiliser les approximations (binomiale par Poisson, binomiale par normale) et connaître leurs conditions.

Prérequis: variables aléatoires (loi, espérance, variance), conditionnement et indépendance.

#Lois discrètesCopier le lien

Bernoulli(p): une seule épreuve à deux issues, succès avec probabilité p. E = p, Var = p(1−p). C’est la brique de base: presque tout ce qui suit en est une composition.

Binomiale(n, p): nombre de succès en n épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre p. Fonction de masse P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), E = np, Var = np(1−p). Deux hypothèses à vérifier: identicité (p constant d’un essai à l’autre) et indépendance. Un tirage sans remise dans une petite population viole les deux: la bonne loi est alors la loi hypergéométrique, et la binomiale n’en est qu’une approximation quand la population est grande devant l’échantillon.

Géométrique(p): nombre d’essais jusqu’au premier succès, P(X = k) = (1−p)^(k−1) p pour k ≥ 1. E = 1/p, Var = (1−p)/p². Elle est sans mémoire: après k échecs, la loi du nombre d’essais restants avant le succès est la même qu’au départ. Durée jusqu’au premier bug en production, nombre de requêtes avant la première erreur: la géométrique s’applique quand chaque essai est une répétition indépendante. P(X > k) = (1−p)^k. Sur ce modèle, la médiane vaut ln(2)/ln(1/(1−p)), proche de 0,69/p pour p petit: la moitié des « temps jusqu’au premier succès » sont plus courts que 70% du temps moyen.

Poisson(λ): nombre d’événements dans une fenêtre fixée quand ils surviennent indépendamment à un taux λ constant, événements rares surgissant un à un. P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k!, E = Var = λ. Exemples: pannes par semaine, requêtes arrivant à un service peu chargé, mutations par génération. La vérification empirique la plus simple: sur un historique, la moyenne des comptages doit être proche de la variance; un rapport variance/moyenne très supérieur à 1 signale de la surdispersion (regroupements, addictivité) et invalide le modèle.

Approximation: si n est grand, p petit, avec λ = np modéré (règle pratique n ≥ 30, p ≤ 0,1, np ≤ 10), la binomiale est très proche de la Poisson. Avec n = 500 et p = 0,004 (λ = 2), le calcul direct de P(X = 0) = 0,998^500 ≈ 0,1326 contre e^(−2) ≈ 0,1353 illustre la qualité de l’approximation.

#Lois continuesCopier le lien

Uniforme [a, b]: ignorance totale entre deux bornes, densité constante 1/(b−a). E = (a+b)/2, Var = (b−a)²/12. C’est la loi génératrice de toutes les simulations: random.random() est uniforme sur [0,1], et toute autre loi s’en dérive.

Exponentielle(λ): temps d’attente entre deux événements poissonniens, densité λe^(−λx), E = 1/λ, Var = 1/λ². Elle est sans mémoire: après avoir attendu t sans événement, l’espérance du temps restant vaut toujours 1/λ. Si les pannes sont poissonniennes, un équipement usagé n’est pas « plus proche » de sa prochaine panne qu’un neuf: c’est vrai des composants électroniques soumis à des défaillances aléatoires, faux des pièces mécaniques qui s’usent et dont le taux augmente avec l’âge (loi de Weibull).

Normale (μ, σ²): émerge comme loi limite de sommes de petits effets indépendants (théorème central limite), d’où son omniprésence: erreurs de mesure, dimensions fabriquées, fluctuations d’échantillonnage de moyennes. Densité (1/(σ√2π)) exp(−(x−μ)²/(2σ²)), E = μ, Var = σ². Repères à connaître: environ 68% de la masse dans μ ± σ, 95% dans μ ± 1,96σ, 99,7% dans μ ± 3σ. Toute valeur normale centrée réduite se note Z, et Φ désigne sa fonction de répartition.

Log-normale: loi de exp(X) pour X normale, qui rend compte de phénomènes multiplicatifs (chiffres d’affaires, durées de téléchargement agrégées, tailles de fichiers). Asymétrique à droite, de queue lourde: la moyenne excède la médiane, et les observations extrêmes ne sont pas des anomalies à nettoyer mais la conséquence du mécanisme multiplicatif.

#Choisir une loi, puis vérifierCopier le lien

Le choix d’une loi est un acte de modélisation, étayé par deux questions: quel mécanisme engendre les données (additif → normale, multiplicatif → log-normale, comptage d’événements rares → Poisson, attente sans usure → exponentielle)? Quel support et quelle symétrie observe-t-on (borné, positif, asymétrique)? On retient ensuite la loi dont les hypothèses correspondent au mécanisme, on estime ses paramètres (section Estimation), puis on confronte le modèle aux données (diagnostics de la section Tests).

#Panorama animéCopier le lien

#Playground: binomiale et approximation normaleCopier le lien

Loi binomiale(50, 0,3) simulée: moyenne et variance empiriques contre valeurs théoriques (15 et 10,5), puis probabilité de dépasser k = 20 par trois méthodes: simulation, approximation normale avec correction de continuité, calcul exact.

Avec la graine 42: moyenne 14,975, variance 10,329, P(X ≥ 20) ≈ 0,0833 par simulation contre 0,0848 exact et 0,0825 pour l’approximation gaussienne avec correction de continuité (sans elle, 0,0614: l’erreur vient du saut bornes entières vers support continu). La correction de continuité, qui évalue la gaussienne en k − 0,5 plutôt qu’en k, est indispensable dès que σ est petit.

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 (choisir la loi). Pour chaque situation, choisissez la loi et identifiez l’hypothèse à vérifier: (a) nombre de requêtes arrivant à une API peu chargée pendant une minute creuse; (b) disponibilité d’un service qui échoue avec probabilité 0,01% à chaque requête, sur 10 000 requêtes; (c) nombre de machines défaillantes parmi 20 tirées d’un parc de 25 dont 5 sont déjà en panne; (d) temps entre deux passages de trains sur une voie sans horaire fixé.

Corrigé. (a) Poisson: événements indépendants, taux constant, un à un; vérifier que variance ≈ moyenne sur historique. (b) Binomiale(10000, 0.0001), approximable par Poisson(1) car p très petit; l’indépendance des requêtes est l’hypothèse fragile (rafales). (c) Hypergéométrique obligatoire: tirage sans remise dans une petite population (25), la binomiale surestimerait la dispersion; paramètres N = 25, K = 5, n = 20. (d) Exponentielle si les départs sont poissonniens; tester le sans-mémoire: probabilité d’attendre plus de t après avoir déjà attendu s doit égaler P(attendre plus de t).

Exercice 2 (sans mémoire). Un serveur tombe en panne en moyenne tous les 1000 heures (modèle exponentiel). Il fonctionne depuis 500 heures. Quelle est la probabilité qu’il tienne encore 200 heures, et son espérance de durée restante?

Corrigé. Sans mémoire: P(X > 700 | X > 500) = P(X > 200) = e^(−200/1000) = e^(−0,2) ≈ 0,8187. L’espérance restante vaut 1000 heures, identique à un serveur neuf. Le calcul: P(X > 700)/P(X > 500) = e^(−0,7)/e^(−0,5) = e^(−0,2). Si en revanche la pièce s’use (Weibull de paramètre de forme > 1), cette probabilité serait plus faible que 0,8187: la mémoire du vieillissement est précisément ce que le test d’adéquation permet de détecter.

Exercice 3 (approximation Poisson). Un panneau publicitaire est vu par 500 visiteurs/jour; chacun clique avec probabilité 0,004. Calculez P(aucun clic demain) exactement, puis par l’approximation poissonienne, et commentez.

Corrigé. Exact: P(X = 0) = 0,996^500 ≈ 0,1326. Approximation Poisson avec λ = np = 2: P = e^(−2) ≈ 0,1353, écart relatif d’environ 2%. La moyenne de clics est 2/jour; l’écart-type vaut √2 ≈ 1,414, la distribution est très asymétrique et un jour à 6 clics (≈ 2,8 écarts-types au-dessus de la moyenne) reste plausible: P(X ≥ 6) ≈ 0,13, à ne pas surinterpréter comme un changement de comportement.

Exercice 4 (vérification par simulation). Simulez 100 000 géométriques de paramètre p = 0,2 et comparez moyenne et variance empiriques aux valeurs théoriques 1/p = 5 et (1−p)/p² = 20. Vérifiez ensuite le sans-mémoire: parmi les trajectoires ayant connu au moins 3 échecs, la proportion dépassant 6 essais au total doit avoisiner P(X > 3) = 0,8³ = 0,512.

Éléments de vérification. Avec la graine 5, moyenne ≈ 5,0 et variance ≈ 20 à ±0,1 près; le conditionnement sur « au moins 3 échecs » ramène la loi du surplus à la géométrique de départ, proportion attendue 0,512 (mesuré: ≈ 0,512). Si votre simulateur n’a pas de graine, les chiffres varient entre exécutions et la reproductibilité est perdue: fixez toujours la graine en tête de script.