#Variables aléatoiresCopier le lien

Une variable aléatoire associe un nombre réel à chaque issue de l’expérience: X(ω) pour ω dans Ω. Elle transforme un univers abstrait en grandeurs mesurables, dont on peut calculer moyenne, dispersion et quantiles. C’est l’objet central qui relie le modèle probabiliste aux données observées.

Objectifs d’apprentissage

• Distinguer variable discrète (fonction de masse) et continue (densité), et utiliser la fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) dans les deux cas.
• Calculer et interpréter espérance, variance et écart-type; appliquer la linéarité et l’addition des variances pour variables indépendantes.
• Énoncer les hypothèses et la conclusion de la loi des grands nombres et du théorème central limite, et les distinguer.

Prérequis: bases des probabilités (axiomes, conditionnement), sommes et intégrales élémentaires.

#Loi d’une variable, répartition, quantilesCopier le lien

Une variable est discrète quand elle prend un ensemble dénombrable de valeurs: sa fonction de masse p(x) = P(X = x) somme à 1 sur les valeurs possibles. Elle est continue quand les probabilités se répartissent via une densité f, fonction positive d’intégrale 1, avec P(X dans [a,b]) = intégrale de a à b de f(x) dx. Pour une variable continue, P(X = a) = 0 pour tout point a: seule la masse des intervalles compte.

La fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x) existe pour toute variable, discrète ou continue. Elle est croissante, bornée entre 0 et 1, et permet tous les calculs de probabilité par différences: P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a). Ses quantiles inversent F: le quantile q à niveau 0,95 est la plus petite valeur x telle que F(x) ≥ 0,95. La médiane est le quantile 0,5 et résiste aux valeurs extrêmes, là où l’espérance peut être tirée par une queue de distribution (salaires, temps de réponse, tailles de fichiers). Décrire une distribution asymétrique par la seule moyenne est un contresens fréquent: on complète par médiane et quantiles. Chaque observation d’un échantillon est une réalisation de la variable; la loi décrit ce qui aurait pu se produire, et fonde les intervalles de confiance et les tests des sections suivantes.

#Espérance et varianceCopier le lien

L’espérance est la moyenne pondérée par les probabilités: E[X] = Σ x·p(x) en discret, intégrale de x·f(x) dx en continu. C’est le centre de masse de la distribution. La variance mesure la dispersion autour de ce centre: Var(X) = E[(X − E[X])²] = E[X²] − E[X]², toujours calculée par la différence des deux moments, plus stable que la définition centrée quand on manipule des formules. L’écart-type est la racine carrée de la variance et s’exprime dans l’unité de X.

Deux propriétés de calcul essentielles:

• Linéarité de l’espérance: E[aX + b] = a·E[X] + b, et E[X + Y] = E[X] + E[Y] sans aucune hypothèse d’indépendance.
• Additivité des variances sous indépendance: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) quand X et Y sont indépendantes; sinon un terme de covariance intervient. Attention: c’est la seule des deux règles qui exige l’indépendance, et l’omettre est une erreur classique.

Fonction d’une variable: pour g quelconque, E[g(X)] se calcule directement en sommant ou intégrant g(x) contre la loi de X; en particulier E[X²] ne vaut pas E[X] au carré, et la différence des deux est précisément la variance. L’inégalité de Markov puis celle de Bienaymé-Tchebychev, P(|X − E[X]| ≥ t) ≤ Var(X)/t², majoreront les queues de distribution avec la seule variance: borne grossière mais universelle.

#Théorèmes limitesCopier le lien

Soit X₁, X₂, … des variables indépendantes et de même loi, d’espérance μ et de variance σ². On note X̄ₙ la moyenne des n premières.

Loi faible des grands nombres: X̄ₙ converge en probabilité vers μ quand n croît, c’est-à-dire que pour tout ε > 0, P(|X̄ₙ − μ| > ε) tend vers 0. La fréquence empirique d’un événement converge vers sa probabilité. Hypothèses: indépendance, même loi, espérance finie (la variance n’est pas nécessaire pour la version forte).

Théorème central limite (TCL): la variable (X̄ₙ − μ)/(σ/√n) converge en loi vers une normale N(0,1). Hypothèses: indépendance, même loi, variance finie; la convergence est d’autant plus rapide que la loi de départ est symétrique et à queues légères. Le TCL ne dit pas que « tout est gaussien »: il porte sur la moyenne (ou la somme) de contributions indépendantes, pas sur la variable élémentaire. Pour n = 30 et une loi uniforme, la moyenne est déjà bien approximée par une normale (playground ci-dessous); pour une loi très asymétrique, il faut davantage d’observations, ou passer par la simulation.

Ces deux théorèmes fondent la statistique inférentielle: le premier justifie d’estimer μ par X̄ₙ, le second fournit l’ordre de grandeur σ/√n de l’erreur d’estimation, donc les intervalles de confiance. Ils fondent également la simulation Monte Carlo de la section suivante.

#Playground: moyenne d’un dé et TCLCopier le lien

Deux expériences: d’abord les indicateurs empiriques d’un dé équilibré contre leurs valeurs théoriques (espérance 3,5, variance 35/12 ≈ 2,917), ensuite la distribution de la moyenne de 30 uniforms contre l’approximation normale du TCL.

#ExercicesCopier le lien

Exercice 1 (espérance et variance d’un jeu). Un jeu rapporte 2 € avec probabilité 1/4, 0 € avec probabilité 1/2, et coûte 1 € (gain −1 €) avec probabilité 1/4. Calculez E[X] et Var(X), puis l’écart minimal de gain donné par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour t = 1,5 €.

Corrigé. E[X] = 2·(1/4) + 0·(1/2) + (−1)·(1/4) = 0,25 €. E[X²] = 4·(1/4) + 0 + 1·(1/4) = 1,25, d’où Var(X) = 1,25 − 0,0625 = 1,1875 €² et un écart-type d’environ 1,09 €. Le jeu est favorable en moyenne, mais une partie sur quatre coûte. Tchebychev: P(|X − 0,25| ≥ 1,5) ≤ 1,1875/2,25 ≈ 0,528. La borne est peu informative ici (probabilité au plus 0,528 pour un écart au moins 1,5 €): normal, l’inégalité ignore la forme de la loi. Vérification par calcul direct: l’événement |X − 0,25| ≥ 1,5 correspond aux gains −1 et 2, probabilité exacte 0,5.

Exercice 2 (additivité sous dépendance). Soit X de variance σ² et Y = X (copie parfaitement corrélée). Comparez Var(X + Y) à 2σ², puis expliquez ce qui se passerait avec Y = −X.

Corrigé. Var(2X) = 4σ², soit le double de 2σ²: l’additivité des variances échoue sans indépendance. Avec Y = −X, la somme X + Y est constante et sa variance est nulle: la dépendance négative annule la dispersion au lieu de l’accumuler. La formule générale Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) montre que le terme de covariance corrige les deux cas; c’est lui qui justifie les tables de contingence et les variances appariées en statistique.

Exercice 3 (quantiles d’une loi continue). Soit X de densité f(x) = 2x sur [0,1] et nulle ailleurs. Vérifiez que f est une densité, calculez F, puis la médiane et P(0,25 < X < 0,75).

Corrigé. Intégrale de 0 à 1 de 2x dx = 1, et f ≥ 0: c’est une densité. Pour x dans [0,1], F(x) = x². La médiane m vérifie m² = 0,5, donc m = 1/√2 ≈ 0,707, nettement au-dessus de 0,5: la densité croissante charge la droite de l’intervalle. P(0,25 < X < 0,75) = F(0,75) − F(0,25) = 0,5625 − 0,0625 = 0,5. Remarquez que l’espérance E[X] = intégrale de 2x² dx = 2/3 et la médiane 0,707 diffèrent: distribution asymétrique, deux indicateurs légitimes et distincts.

Exercice 4 (TCL par simulation). Simulez 10 000 fois la somme de 100 variables exponentielles de paramètre 1 (espérance 1, variance 1) et comparez l’histogramme des sommes centrées réduites à la loi normale via la proportion de réalisations dans [−1,96, 1,96].

Éléments de vérification. La loi exponentielle est très asymétrique, mais avec n = 100 la somme S vérifie (S − 100)/10 ≈ N(0,1): attendez environ 95% des réalisations dans [−1,96, 1,96] (mesuré: 95,0% avec la graine 7). Refaites l’expérience avec n = 5: la proportion tombe vers 92,5%, signe d’une convergence encore imparfaite. C’est exactement ce déséquilibre qui justifie de préférer les tests exacts ou simulated quand n est petit et la loi asymétrique.